Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме "Векторы".
Содержание данной страницы электронного справочника для школьников:
2)
3)
5) Дано: система координат
модуль вектора
Найдите: OA
Решение:
OA=
OA =
Ответ: OA = 13
***
Пусть
1) Отложим от точки O векторы
2) Если
3) Если
Угол между двумя векторами
Определение:
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
***
ABCD - квадрат
AC ∩ BD = O
Найти: углы между векторами
Вычисление:
a) Т.к. AC - диагональ квадрата, то она делит угол
б) Т.к. ABCD - квадрат, то градусная мера угла между векторами
***
ABCD - ромб
BD = AB; AC ∩ BD = 0
Вычислите: угол, образованный векторами
Решение:
а) По определению ромба ΔABD - равносторонний (AB = AD = BD).
Значит, все углы в треугольнике равны 60°. Тогда угол между векторами
б) Т.к. векторы
в) Т.к. векторы
***
Определение:
Скалярным произведением двух векторов (формула 1) называется произведение длин этих векторов на косинус угла (Cos) между ними.
Обозначение:
Из формулы скалярного произведения векторов через косинус угла (1) следует:
1) скалярное произведение векторов больше нуля, если угол между векторами меньше 90°, т.е.
скалярное произведение векторов меньше нуля, если угол между векторами больше 90°, т.е.
2) Если
3) Если
Верно и обратное, т.е. если
Вывод:
***
Дано:
Векторы
Угол α = 90°
Найти: скалярное произведение векторов
Решение:
Используя формулу скалярного произведения векторов через косинус угла, получаем
Ответ:
***
***
Дано:
ΔABC - равносторонний
Найти: скалярное произведение векторов 1)
Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
1)
2)
***
Дано:
Векторы
1) угол α = 45°
2) α = 135°
Найти: скалярное произведение векторов
Решение:
1)
2)
Ответ: 1) 3
***
Дано:
AB = a
BD - высота
Найти: скалярное произведение векторов
1)
2)
Решение:
1)
2)
3)
Ответ:1) -
Дано:
BD ∩ AC = 0
BD = AB
1)
2)
Найти: величину угла между векторами
1)
Решение:
1) Рассмотрим ΔABC - равнобедренный, т.к. AB=BD.
Зная, что в ромбе все стороны равны, получаем ΔABD - равносторонний.
Тогда
По свойству ромба следует, что
Тогда угол между векторами
2) Т.к. стороны параллельны и векторы сонаправлены:
BA || CD и
Рассмотрим треугольник ΔCBD - равнобедренный, т.к. две стороны равны: BD=BC.
По определению ромба ΔCBD - равносторонний.
Значит, угол
По свойству ромба угол
Тогда угол между векторами
Ответ: 1)
***
Теорема:
Если два вектора имеют координаты
Доказательство:
1 случай.
2 случай.
Если векторы
Отложим векторы от произвольной точки O.
Рассмотрим треугольник ΔOBA.
Известно, что формула косинуса
c2 = a2 + b2 - 2ab • Cos α, получаем равенство
AB2 = OB2 + OA2 - 2 • OB • OA • Cos α (3)
Учитывая значения (*)
|
Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, получаем
Т.к.
|
Тогда из равенства (4) следует
(x2 - x1)2 + (y2 – y1)2 = x22 + y22 + x12 + y12 - 2
x22 -2 x2 x1 + x12 + y22 – 2 y2y1 + y12 = x22 + y22 + x12 + y12 - 2
-2 x2 x1– 2 y2y1 = - 2
***
Следствия:
1) Если векторы перпендикулярны, т.е.
2) По определению скалярного произведения двух векторов (формула 1)
Cos α =
Формула для нахождения косинуса угла через координаты векторов:
Для вычисления синуса и тангенса угла между векторами через косинус угла используются формулы приведения и тригонометрические функции.
***
Если
***
Если
***
Дано:
Координаты точек
A(2;8), B(-1;5), C(3;1)
Решение:
Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
Используя формулу для нахождения углов через координаты векторов
Cos A =
Cos A =
Ответ: Cos A =
***
Дано:
угол между векторами равен
длины векторов |
Найти: произведение векторов (
Решение:
(
Ответ: (
***
Дано:
длина векторов |
Найти: произведение векторов
Решение:
= 3
Ответ:
***
Дано:
Найти: произведение векторов
Решение:
Ответ:
***
Дано:
Найти: произведение векторов
Решение:
0 = 0 + (-3x)
3x = 0
x = 0
Ответ: при x=0,
***
Дано:
Координаты точек
A(2;8), B(-1;5), C(3;1)
Найти: косинус угла векторов
2) Cos C = ?
Решение:
1)
Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
Используя формулу для нахождения углов через заданные координаты векторов
Cos B =
Cos B =
2)
Cos C =
Ответ: Cos B =0, Cos C =
***
Дано:
Найти: длину вектора |
Решение:
Найдем координаты вектора
Т.к. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат |
|
Ответ: |
***
Дано:
ABCD - ромб
AB =
AC
Доказательство:
Т.к. ABCD - ромб - параллелограмм, то векторы параллелограмма
***
Дано:
треугольник ΔABC - равнобедренный
AM - медиана
Доказать:
1) 4AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A
Доказательство:
1) Т.к. точка M - середина BC, тогда
2
Значит, (2
= AB2 + 2AB + 2AB • AC • Cos A + AC2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A
Получаем 4AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A
2) По формуле, полученной выше, следует
4CH2 = AC2 + BC2 + 2AC • BC • Cos C
Т.к. треугольник ΔABC - равнобедренный, тогда AB = BC,
Получим, что 4CH2 = AC2 + BC2(=AB2) + 2AC • BC(=AB) • Cos C (= Cos A)
4CH2 = AC2 + AB2 + 2AC • AB • Cos A
4CH2 = 4AM2
2CH = 2AM | : 2
CH = AM
***
Дано:
ABCD - выпуклый четырехугольник
BD = d1 и AC = d2 - диагонали
d1 ∩ d2 = O - точка пересечения диагоналей
Доказать:
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними
SABCD=
Доказательство:
Площадь четырехугольника - сумма площадей четырех треугольников.
SABCD= S1 + S2 + S3 + S4 , где
S1 = SΔAOB ; S2 = SΔCOB ; S3 = SΔCOD ; S4 = SΔAOD
S1 =
S2 =
S3 =
S4 =
Сложив S1 + S2 + S3 + S4, получаем
SABCD=
+
Т.к. OA+OC = AC, CO+OA = AC, BO + OD = BD тогда
SABCD=
Формула площади выпуклого четырехугольника:
SABCD=
***
Дано:
два вектора образуют угол α = 150°,
длины векторов |
Решение:
BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB • AC • Cos 150°
BC2 = 48 + 4 - 2 • 4
BC =
Ответ: BC = |2
***
Дано:
Угол
a=24,6
Найти: Угол в градусах
Решение:
Используя теорему синусов
≈ 25,5
Ответ:
***
Дано:
длины векторов |
Найти: значение векторов
1) |
2) |
Решение: По теореме косинусов
1)
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB • BC • Cos 120°
AC2 = 25 + 64 - 80 • (- 0,5) = 129
2) BC2 = AB2 + AC2 - 2AB • AC • Cos 60°
BC2 = 89 - 80 • 0,5 = 49
BC = ±
Ответ: |
***