Теоретический урок для решения задач по теме "Решение треугольников". Бесплатное обучение.
Содержание данной онлайн страницы электронного справочника по предмету математики для школьников:
Треугольник ΔABC,
стороны треугольника a=10, b=7
Угол 
A = 60°
Решить треугольник: Угол по сторонам треугольника B, C, сторону c
Решение:
Известно, что формула синуса
, получаем выражение
Sin B = 
= 
= 
= 
≈ 0,6062
Используя Sin B ≈ 0,6062, находим из тригонометрической таблицы ("Четырехзначные математические таблицы" Владимира Модестовича Брадиса)
B = 37°19’
Тогда C = 180° - (60° + 37°19’) = 82°41’
Используя теорему синусов
, получаем равенство
с=
≈ 11
Ответ: B = 37°19’; C = 82°41’; c ≈ 11
***
Дано:
Треугольник ΔABC, стороны треугольника
a=6,3
b=6,3
C = 54° Найти: Угол по сторонам треугольника A, B, сторону c
Решение:
Т.к. a=b=6,3, то треугольник ΔABC - равнобедренный.
Тогда A =B = (180° - 54°): 2 = 63°
Используя теорему синусов
, получаем равенство
с = 
= 
≈ 5,7
Ответ: A =B = 63°; с ≈ 5,7
***
Дано:
Треугольник ΔABC
A = 60°
B = 40° c=14
Найти: угол треугольника C, стороны a,b
Решение:
C = 180° - (40° + 60°) = 80°
Используя теорему синусов
, получаем выражение
a = 
≈ 12
b = 
≈ 9
Ответ: C = 80°; a ≈ 12; b ≈ 9
***
Треугольник ΔABC
BC=a=6
AC=b=7,3
AB=c=4,8
Найти: углы треугольника A, B, C по сторонам
Решение:
Известно, что формула косинуса
, находим косинус угла B
Cos B = 
= 
= 
= 
≈ 0,0998263
Используя тригонометрические таблицы ("Четырехзначные математические таблицы" В. М. Брадиса), находим значение угла B
B = 84°16’
Используя формулу теоремы косинусов, находим косинус угла C
Cos C = 
= 
=
= 
≈ 0,7562785
Используя тригонометрические таблицы ("Четырехзначные математические таблицы" В. М. Брадиса), находим значение угла C
C = 40°52’
Тогда угол A равен A =180° - (40°52’ + 84°16’) = 54°52’
Ответ: A = 54°52’ ; C = 40°52’ ; B = 84°16’
***
Дано:
Треугольник ΔABC
A = 30°
C = 75°
b = 4,5
Найти: угол B, стороны треугольника a,c
Решение:
B = 180° - (30° + 75°) = 75°
Т.к. два угла в треугольнике равны B =C = 75°, тогда треугольник ΔABC - равнобедренный.
Значит, две стороны равны AC=AB=b=c=4,5
Используя теорему синусов
,
находим сторону BC=a
a = 
≈ 2,3
Ответ: B = 75°; a ≈ 2,3 ; c = 4,5
***
Дано:
Треугольник ΔABC, длины трех его сторон
| 1) a=5 , b=c=4 | 2) a=5 , b=9 , c=6 | 3) a=17 , b=15 , c=8 |
Найти: является ли треугольник тупоугольным, прямоугольным, остроугольным
Решение:
1) Т.к. b=c=4, то треугольник ΔABC - равнобедренный, и, значит, остроугольный.
, находим косинус угла A
Cos A = 
= 
=0
Тогда угол A равен A = 90°. Следовательно, треугольник ΔABC - прямоугольный.
3) Используя формулу теоремы косинусов
, находим косинус угла B
Cos B = =
= -
< 0.
Т.к. значение косинуса угла B меньше нуля, следовательно, угол B - тупой, а треугольник ΔABC - тупоугольный.
***
Треугольник ΔABC, два угла и сторона
A = 45°
C = 30°
AD = 3 м
Найти: длину всех сторон треугольника ΔABC = ?
Решение:
Зная размер двух углов в треугольнике ΔABC, находим третий уголB = 180° - (30° + 45°) = 105°
Найдем угол DAB и рассмотрим ΔADC
DAB = 180° - (90° + 45 + 30°) = 15°
DAC = 15° + 45° = 60°
Используя теорему синусов
, находим сторону AC
AC = (3 • 1) • 2 = 6 (м)
Используя теорему синусов
, находим сторону AB
AB = 
≈ 3 (м)
Используя теорему синусов
, находим сторону BC
BC =
≈ 4 (м)
Ответ: AB ≈ 3 м, AC = 6 м, BC ≈ 4 м.
***
Дано:
Треугольник ΔABC
Три стороны a = 14, b = 18,
c = 20
Найти:
все углы треугольника ΔABC = ?
Решение:
Т.к. против большего угла лежит большая сторона, то используя формулу теоремы косинусов
Cos C =, находим косинус угла C
Cos C = 
= 
≈ 0,24
Используя тригонометрические таблицы ("Четырехзначные математические таблицы" В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C
C ≈ 76°07’
Используя формулу теоремы косинусов
Cos B =, находим косинус угла B
Cos B = =
=
≈ 0,4857
Используя тригонометрические таблицы ("Четырехзначные математические таблицы" В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла B
B ≈ 60,941 ≈ 60°57’
Следовательно, A = 180° - (76°13’ + 60°57’) ≈ 42°56’
Ответ: A ≈ 42°56’ ; B ≈ 60°57’ ; C ≈ 76°07’
***
Дано:
Треугольник ΔEKP, сторона и два угла
EP = 0,75
P = 40°
K = 25°
Найти: сторону треугольника PK = ?
Решение:
Используя теорему синусов
, находим сторону PK
E = 180° - (40° + 25°) =115°
Sin 115° = Sin (180° - 65°) = Sin 65°
Тогда 
PK = 
≈ 1,61
Ответ: PK ≈ 1,61.
***
Дано:
Треугольник ΔABC, две стороны и угол
b = 18, c = 12
A = 50°
Найти: решить треугольник - определить значение стороны и двух углов
(a, B, C ) = ?
Решение:
Используя формулу теоремы косинусов
, получаем
a = 
= 
≈ 13,8
Используя формулу теоремы косинусов
Cos C =, находим косинус угла C
Cos C =
= 
≈ 0,7457
Используя тригонометрические таблицы ("Четырехзначные математические таблицы" В. М. Брадиса), находим приближенное значение угла C
C ≈ 41°47’
Следовательно, B = 180° - (50° + 41°47’) ≈ 88°13’
Ответ: a ≈ 13,8 ; B ≈ 88°13’ ; C ≈ 41°47’
***