Правильный многоугольник

Теорема - Вывод формулы для вычисления углов правильного многоугольника.

 

Дано:

правильный многоугольник,

углы α₁, α₂, α₃, α₄ ...

 

Доказать:

α_n = • 180°

Доказательство:

Сумма углов данного правильного многоугольника (n - 2) • 180°.

По условию α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = ...

каждый угол по • 180°, т.е. справедлива

формула для вычисления углов правильного многоугольника:

α_n = • 180°

***

 

Задача 108.

Дано: Правильный шестиугольник, т.е. n = 6

Найти: угол правильного шестиугольника

Решение:

α_n = • 180° = = 120°

Ответ: 120°

***

 

Задача 109.

Дано: Правильный многоугольник, где n - количество сторон многоугольника

Найти: n - сколько сторон содержится в правильном многоугольнике

Решение:

1) αn = 60° αn = • 180° 60° •n = (n - 2) • 180° 60° •n = 180°•n - 360° - 120° • n = - 360° n = 3

2) т.к. угол правильного многоугольника αn = 135° 135° •n = (n - 2) • 180° 135° •n - 180°•n = - 360° n = 8

***

Задача 110.

Дано:

ABCDEF - правильный многоугольник,

внешние углы β₁; β₂; ... ; β_n

 

Найти:

сумму внешних углов β₁ + β₂ + ... + β_n = ?

Решение:

Т.к. шестиугольник правильный, то по определению правильного многоугольника

каждый угол в правильном многоугольнике равен α_n = • 180°

α_n = • 180° = 120°

Т.к. все углы в правильном многоугольнике равны, то и внешние углы тоже будут равны, а именно β₁ = β₂ = β₃ = β₄ = β₅ = β₆ = 180° - FAB = 180° - 120° = 60°

Тогда β₁ + β₂ + β₃ + β₄ + β₅ + β₆ = 60° • 6 = 360°.

***

 

Задача 111.

Дано:

правильный многоугольник,

1) правильный треугольник, n = 3

2) n = 5

3) n = 18

 

Найти: угол правильного многоугольника

Решение:

1) αn = • 180° 3 • αn = 180° αn = 60°

2) 5 • αn = 3 • 180° αn = 108°

3) 18 • αn = 16 • 180° αn = 160°

Ответы: каждый угол правильного многоугольника равен 1) 60°; 2) 108°; 3) 160°.

***

 

Задача 112.

Дано:

правильный многоугольник,

α_n = 90°

 

Определите: сколько сторон имеет правильный многоугольник n = ?

Решение:

α_n = • 180°

90° •n = (n - 2) • 180°

90° •n - 180°•n = - 360°

-90° •n = - 360°

n = 4

Ответ: количество сторон правильного многоугольника n = 4.

***

 

Правильный многоугольник и описанная окружность

Определение:

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

 

Теорема:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

Дано:

A₁A₂A₃…A_n - правильный многоугольник

 

Доказать:

существует единственная окружность с центром в точке O и радиусом R, на которой лежат вершины правильного многоугольника

! Окр (O;R): A₁; A₂; A₃;…A_n Окр (O;R)

Доказательство:

1) Проведем биссектрисы угла A₁ и угла A₂.

Т.к. многоугольник правильный, то A₁ = A₂

1 =2 =3 =4.

Из того, что 1 =3 следует, что треугольник ΔA₁OA₂ - равнобедренный, поэтому A₁O = OA₂

Рассмотрим треугольник ΔA₂OA₃:

1) A₂O - общая

2) A₁A₂ = A₂A₃

3) 3 =4

Тогда по первому признаку равенства треугольников

Δ A₁OA₂ = Δ A₂OA₃. Следовательно, A₂O = A₃O.

Соединив каждую оставшуюся вершину с точкой O, можно показать, что все треугольники между собой равны.

 

Тогда A₁O =A₂O = A₃O = ... = A_nO

Т.к. точка O - центр окружности и радиус равен R = A₁O =A₂O = A₃O = ... = A_nO , значит,

Окр (O;R); A₁; A₂; A₃;…A_n Окр (O;R)

 

Единственность:

Возьмем какие-нибудь три вершины правильного многоугольника, они образуют треугольник, около которого можно описать только одну окружность, значит, около данного многоугольника можно описать только одну окружность.

***

 

Задача 113.

Дано:

правильный многоугольник,

дуга AB= 60° ( AB = 60°)

AB - сторона правильного многоугольника

 

Найти:

количество сторон правильного многоугольника n = ?

Решение:

Т.к. градусная мера AB = 60° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB.

ΔAOB - равнобедренный, где OAB = OBA =

= (180° - 60°) : 2 = 60°.

Тогда ΔAOB - равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 60° • 2 = 120°.

Зная, что

α_n = • 180°

120° •n = (n - 2) • 180°

120° •n - 180°•n = - 360°

-60° •n = - 360°

n = 6

Ответ: число сторон правильного многоугольника n = 6.

***

 

Задача 114.

Дано:

правильный многоугольник,

1) AB = 36°

2) AB = 18°

AB - сторона правильного многоугольника

 

Найти:

количество сторон многоугольника n = ?

Решение:

1)

Т.к. градусная мера AB = 36° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB.

ΔAOB - равнобедренный, где OAB = OBA =

= (180° - 36°) : 2 = 72°.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 72° • 2 = 144°.

Зная, что

α_n = • 180°

144° •n = (n - 2) • 180°

144° •n - 180°•n = - 360°

-36° •n = - 360°

n = 10

 

2)

Т.к. градусная мера AB = 18° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB, где AOB - центральный.

ΔAOB - равнобедренный (OA = OB = r), где OAB =

=OBA = (180° - 18°) : 2 = 81°.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 81° • 2 = 162°.

Зная, что

α_n = • 180°

162° •n = (n - 2) • 180°

162° •n - 180°•n = - 360°

-18° •n = - 360°

n = 20

Ответ: 1) n = 10; 2) n = 20.

***

 

Вписанная и описанная окружность в правильном многоугольнике

Вывод:

В правильных многоугольниках центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

 

Задача 115.

Дано:

A₁A₂A₃A₄A₅ - правильный пятиугольник

α_n = • 180° = 108°

 

Доказать:

A₁A₃ = A₁A₄

Доказательство:

По определению правильного многоугольника в данном пятиугольнике все стороны и углы между собой равны.

Рассмотрим треугольники ΔA₁A₂A₃ и ΔA₁A₄A₅.

A₁A₂ = A₁A₅

A₂A₃ = A₅A₄

A₂ =A₅

Тогда по первому признаку равенства треугольников (ΔA₁A₂A₃ = ΔA₁A₄A₅) следует, что A₁A₃ = A₁A₄ как соответственные стороны.

***

 

Задача 116.

Дано:

ABCD - квадрат

Соотношение отрезков

AM : MK : KD = 1 : : 1

 

Доказать:

MNOZLFEK - правильный многоугольник

Доказательство:

ΔAMN = ΔOBZ = ΔLCF = ΔEKD (по первому признаку треугольников)

По теореме Пифагора:

MN = OZ = LF = EK =

По условию NO = ZL = EF = MK =

Значит, все стороны равны.

Т.к. 1=2 = 45°, то NMK=MKE = KEF=EFL = FLZ=ZON = … = 180° - 45° = 135°

Из этого следует, что MNOZLFEK - правильный восьмиугольник.

***

 

Правильный многоугольник и вписанная окружность

Теорема:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Дано:

A₁A₂A₃…A_n - правильный многоугольник

 

Доказать:

существует единственная вписанная окружность с центром в точке O и радиусом R

! Окр (O;R): H₁; H₂; H₃;…H_n Окр (O;R)

Доказательство:

1) Проведем высоты треугольников, т.е. OH₁; OH₂; …; OH_n

Известно, что треугольники ΔOA₁A₂ = ΔOA₂A₃ = … = ΔOA_nA₁.

Следовательно, OH₁ = OH₂ = … = OH_n . Тогда H₁; H₂; H₃;…H_n Окр (O;R).

Единственность:

2) Предположим, что наряду с Окр (O;R) есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник.

Тогда ее центр O₁ равноудален от сторон многоугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис, лежащих на каждом угле многоугольника.

Значит, радиус этой окружности равен OH₁ и из этого следует, что окружности совпадают.

***

 

Задача 117.

Дано:

правильный многоугольник,

дуга AB= 72° ( AB = 72°)

AB - сторона правильного n-угольника

 

Найти:

количество сторон многоугольника n = ?

Решение:

Т.к. градусная мера AB = 72° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB, где угол AOB - центральный.

ΔAOB - равнобедренный (OA = OB = r), где

OAB = OBA = (180° - 72°) : 2 = 54°.

Тогда ΔAOB - равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 54° • 2 = 108°.

Зная, что

α_n = • 180°

108° •n = (n - 2) • 180°

108° •n - 180°•n = - 360°

-72° •n = - 360°

n = 5

Ответ: n = 5.

***

 

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Дано:

A₁A₂A₃…A_n - правильный многоугольник

R - радиус описанной окружности

r - радиус вписанной окружности

a_n - сторона многоугольника

 

Доказать:

1) площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности

S_n = P_n • r

2) сторона правильного многоугольника равна удвоенному произведению радиуса описанной окружности на синус угла (Sin), равному числу от деления 180° на n - количество сторон многоугольника

a_n = 2R • Sin ()

3) радиус вписанной окружности равен произведению радиуса описанной окружности на косинус угла (Cos), равному числу от деления 180° на n - количество сторон правильного многоугольника

r = R • Cos ()

Доказательство:

1) Соединив точку O с вершинами правильного многоугольника, получаем треугольники Δ A₁A₂O = Δ A₂A₃O = … = Δ A₁A_nO, где количество всех треугольников в многоугольнике = n.

Площадь треугольника

S (Δ A₁A₂O) = • A₁A₂ • OH₁ = • a_n • r.

Тогда площадь многоугольника равна сумме площадей всех треугольников

S_n = S (Δ A₁A₂O) • n = • a_n • r • n = (• a_n • n) • r = P_n • r

***

 

2)

Т.к. угол в многоугольнике находится по формуле

α_n = • 180°, то угол A₁ в треугольнике A₁H₁O есть половина угла многоугольника.

A₁ = •(• 180°) = • 90° = = 90° -

Cos A₁ = =

Тогда A₁H₁ = Cos A₁ • R = Cos (90° - ) • R = R • Sin()

Зная, что a_n = A₁H₁ • 2, получаем

a_n = 2R • Sin ()

***

Примеры:

Если n=3, то a₃ = 2R • = R•

Если n=4 (квадрат), то a₄ = 2R • Sin45° = 2R • = R•

Если n=6 (правильный шестиугольник), то a₆ = 2R • 0,5 = R

***

3)

Sin A₁ =

Тогда r = R • Sin A₁ = R • (90° - ) = R • Cos ()

***

 

Задача 118.

Дано:

Правильный четырехугольник – квадрат

 

	R	r	a4	P	S
1	-	-	6	-	-
2	-	2	-	-	-
3	-	-	-	-	16

 

Определить: чему равны радиусы вписанной и описанной окружности, стороны, периметр и площадь правильного многоугольника – квадрата

R, r, a₄, P, S = ?

Решение:

1) Если сторона квадрата a₄ = 6 и т.к. дан квадрат, то

периметр квадрата P = 4 • a₄ = 4 • 6 = 24

Площадь квадрата S = a₄² = 6² = 36

Т.к. площадь квадрата можно найти по формуле S₄ = P₄ • r, то радиус вписанной окружности

r = = = 3

Т.к. количество сторон n=4, то a₄ = R•

Радиус описанной окружности R== ==

 

2) Если r=2, то радиус описанной окружности

r = R • Cos () = R • Cos 45° = R •

R = 2 • = 2

Т.к. количество сторон n=4, то сторона квадрата

a₄ = R•= 2• = 4

Тогда периметр квадрата P = 4 • a₄ = 4 • 4 = 16

Площадь квадрата S = a₄² = 4² = 16

 

3) Если площадь квадрата S = 16, то сторона квадрата

a₄² = 16 a₄ = ±. Но a₄ = - не удовлетворяет условию задачи.

Значит, a₄ = = 4

Тогда периметр квадрата P = 4 • a₄ = 4 • 4 = 16

Т.к. количество сторон n=4, то радиус описанной окружности

a₄ = R• 4 = R• R = = 2

Тогда радиус вписанной окружности

r = R • Cos () = R • Cos 45° = 2 • = 2

***

 

Задача 119.

Дано:

Δ ABC - равносторонний,

периметр треугольника

P_Δ = 18 см

 

Найти: сторону квадрата, вписанного в ту же окружность

a₄ = ?

Решение:

Т.к. P_n = n • a_n , то сторона треугольника

18 = 3 • a₃ a₃ = 6

Тогда радиус описанной окружности

a₃ = R• R = = 2

Тогда сторона квадрата a₄ = • R = • 2= 2

Ответ: 2.

***

 

Задача 120.

Дано:

ABCD - квадрат,

сторона квадрата a₄ = 6

 

Вычислить: чему равен удвоенный радиус вписанной окружности 2r = ?

Решение:

Т.к. площадь квадрата можно найти по формуле S₄ = P₄ • r, то радиус вписанной окружности

r = = = 3 (см)

Значит, 2r = 2 • 3 = 6 (см).

Ответ: 6 см.

***

 

Задача 121.

Дано:

квадрат, правильный шестиугольник вписаны около одной окружности (O;r) с центром в точке О и радиусом r ;

периметр шестиугольника P₆ = 48 см

 

Найти: периметр квадрата P₄ = ?

Решение:

Т.к. формула периметра шестиугольника P₆ = 6 • a₆ , то сторона шестиугольника a₆ = 48 : 6 = 8 (см)

Т.к. дан правильный шестиугольник при n=6, то

a₆ = 2R • 0,5 = R

Т.к. дана одна окружность, то радиусы описанной окружности равны, т.е. R₄ = R₆ = 8 см

Тогда сторона квадрата a₄ = R•= 8см

Следовательно, периметр квадрата P₄ = 4 • 8= 32(см)

Ответ: P₄ = 32см.

***

 

Задача 122.

Дано:

ABCDEF - правильный шестиугольник

BF = 1,5 см

 

Найти: площадь шестиугольника

S_ABCDEF = ?

Решение:

Проведем диагональ AD и рассмотрим равнобедренный треугольник ΔABF.

По свойству равнобедренного треугольника AO - медиана.

Значит, FO = OB = BF : 2 = 1,5 : 2 = 0,75 (см)

 

Т.к. шестиугольник правильный, то используя формулу для вычисления углов правильного многоугольника

α_n = • 180°, получаем

α₆ = • 180° = 120°

Тогда угол BAO = 60°

Рассмотрим треугольник ΔAOB, где угол O = 90°.

Sin 60° = = AB = = (см)

Тогда периметр шестиугольника

P₆ = 6 • = 3(см)

Тогда радиус вписанной окружности

r₆ = OF = см

Следовательно, площадь шестиугольника

S₆ = • P₆ • r₆ = = (см²)

Ответ: S_ABCDEF = см².

***

 

Задача 123.

Дано:

A₁A₂A₃A₄A₅A₆ - правильный шестиугольник, вписанный в окружность (O; R)

B₁B₂B₃B₄B₅B₆ - правильный шестиугольник, описанный около окружности (O; R)

OH = r

OH₁ = R

 

Найти: пропорцию площадей шестиугольников

= ?

Решение:

1)

Рассмотрим шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆

Стороны шестиугольника равны радиусы описанной окружности A₁A₂ = A₂A₃ = A₆A₁ = R

Зная, что S (A₁A₂A₃A₄A₅A₆) = P • r = 6Rr = 3R•r

Рассмотрим треугольник ΔOHA₆ - прямоугольный, т.к. радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне шестиугольника r A₁A₆

Т.к. точка O - точка пересечения биссектрис, то R - биссектриса угла A₁A₆A₅

Зная, что OA₆A₁ = 60°, получаем

Sin 60° = r = Sin 60° • R =

Значит, площадь шестиугольника

S (A₁A₂A₃A₄A₅A₆) = 3R •=R²

2)

Рассмотрим шестиугольник B₁B₂B₃B₄B₅B₆

B₁B₂ = … = B₆B₁ = OB₅ , где OB₅ - радиус описанной окружности около данного правильного многоугольника, а именно шестиугольника B₁B₂B₃B₄B₅B₆

S (B₁B₂B₃B₄B₅B₆) = • (6 • OB₅) • R

Рассмотрим ΔH₁OB₅ - прямоугольный, т.к. R - вписанной окружности в многоугольник B₁B₂B₃B₄B₅B₆:

R B₅B₆

Тогда OB₅H₁= 60°. Поэтому

Sin 60° = OB₅ = 2R

Тогда площадь шестиугольника B₁B₂B₃B₄B₅B₆

S (B₁B₂B₃B₄B₅B₆) = • 6 • 2R • R = 2R²

 

Тогда пропорция площадей шестиугольников

= 2R² • =

Ответ:

***