Тригонометрия

Основные тригонометрические функции

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMD.

;

Но OM=r=1, MD=y, OD=x

Тогда

Sin α = y 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ Sin α ≤ 1

Cos α=

Cos α = x –1 ≤ x ≤ 1; –1 ≤ Cos α ≤ 1

Определение:

Для любых углов α (читается: альфа): 0°≤ α≤180°

Sin α (синусом угла α) называется ордината точки M, а

Cos α (косинусом угла α) называется абсцисса точки M.

Дано:

Окружность (0;r)

Координаты точек A(1;0),

B(–1;0), M₁(0;1); M₂(;)

Найти:

1) принадлежат ли данные точки окружности,

2) синус, косинус, тангенс углов

Решение:

***

Дано:

Синус угла Sin α =

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

***

Формулы приведения

Таблица. Тригонометрические формулы приведения - синус, косинус в тригонометрии

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

***

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

***

Дано:

Синус угла Sin α =

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

***

Дано:

Синус угла Sin α =0

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

***

Дано:

Косинус угла Cos α = 1

Найти: тангенс угла альфа tg α = ?

Решение:

***

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: тангенс угла альфа tg α = ?

Решение:

***

Дано:

Углы 120°, 135°, 150°

Найти: синус, косинус, тангенс углов

Sin α =? Cos α = ? tg α = ?

Решение:

***

Дано:

координаты точки A(2;2)

окружность с центром в начале координат (0;0)

Найти: угол α

Решение:

***

Дано: длина отрезка и величина угла

Найти: координаты точки A(x;y)

Решение:

***

Дано:

1) A(0;3)

2) B(–;1)

Найти: угол α

Решение:

***

Теорема:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус (Sin) угла между ними.

Дано:

Треугольник ΔABC

Стороны треугольника

BC=a, AC=b, AB=c

S - площадь треугольника

Доказать:

S_ΔABC=a • b • Sin C

Доказательство:

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту. Поэтому

S_ΔABC=a • h (*), где h – высота треугольника, a - основание

Но высота h = b • Sin C (**).

Используя условие (**) в формуле (*), тогда

Формула площади треугольника через синус, основание и высоту

S_ΔABC=• a • b • Sin C

a = ; b =

***

Дано:

Найти: площадь треугольника S_Δ

Решение:

***

Дано:

Площадь треугольника S_ΔABC= 60 см²

Сторона AC = 15

Угол A = 30°

Найти: сторону AB

Решение:

***

Теорема:

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус (Sin) угла между ними.

Дано:

ABCD - параллелограмм

AB = a

AD = b

S - площадь параллелограмма

Доказать: S = a • b • SinA = a • b • Sin α

Доказательство:

S = AD • BH

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔBDC. Данные треугольники равны по третьему признаку.

Тогда площади треугольников также равны S_ΔABD = S_ΔBDC

S_ΔBDC=• BC • CD • Sin α

Тогда площадь параллелограмма

S_ABCD= S_ΔABD + S_ΔBDC= 2 • S_ΔBDC

S_ABCD=2 • • a • b • Sin α = a • b • Sin α

***

Теорема синусов

Теорема синусов для треугольника. Каждая сторона произвольного треугольника пропорциональна синусу противолежащего угла.

Дано:

Треугольник ΔABC

AB=c, BC=a, AC=b

Доказать:

Доказательство:

По теореме о площади треугольника получаем

S_ΔABC=c • b • Sin A (1)

S_ΔABC=a • b • Sin C (2)

S_ΔABC=c • a • Sin B (3)

Из равенства (1) и (2) следует, что

c • b • Sin A = a • b • Sin C

c • Sin A = a • Sin C

Тогда получаем (*)

Из равенства (2) и (3) следует, что

a • b • Sin C =c • a • Sin B

b • Sin C = c • Sin B

Тогда получаем (**)

Из равенств (*) и (**) получаем

- формула синуса треугольника

***

Дано:

Треугольник ΔABC

Сторона AC = 12 см

Угол A = 75°

Угол С = 60°

Как найти: сторону AB треугольника, площадь треугольника S_ΔABC= ?

Решение:

***

Дано:

Треугольник ΔABC

Сторона BC = см

Угол A = 45°

Угол С = 30°

Найти: сторону AB треугольника

Решение:

***

Дано:

ABCD – прямоугольник

Диагональ AC = 10 см

Угол BOC = 30°

Найти: Площадь прямоугольника

S_ABCD=?

Решение:

***

Теорема косинусов

Теорема косинусов для треугольника. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон и минус удвоенное произведение этих сторон на косинус (Cos) угла между ними.

Дано:

Треугольник ΔABC

AB=c, BC=a, AC=b

Доказать:

a² = b² + c² - 2bc • Cos A

Доказательство:

Введем прямоугольную систему координат так, что

1) Точка A - начало координат или A(0;0)

2) Сторона AB лежит на оси абсцисс.

Тогда получаем B(c;0), C (b • Cos A; b • Sin A)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

a² = BC² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² = (b • Cos A - c)² + (b • Sin A - 0)² =

= b² • Cos² A - 2bc • Cos A + c² + b² • Sin² A = b² (Cos² A + Sin² A) - 2bc • Cos A + c² = b² • 1 + c² - 2bc • Cos A = b² + c² - 2bc • Cos A

Формулы теоремы косинусов:

- формула косинуса треугольника

***

Дано:

Треугольник ΔABC

Высота CH = h_c

Высота BH₁ = h_b

Угол A = α

Найти: площадь треугольника

S_ΔABC = ?

Решение:

- формула, как найти площадь треугольника через две высоты и синус угла.

***