Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме "Векторы".
Содержание данной страницы электронного справочника для школьников:
- – тема "Свойства векторов" рассматривается на примере решения задачи 86;
- – онлайн задания, как находить угол между векторами, в том числе в координатной форме, как определяется скалярное произведение векторов, скалярный квадрат, представлены в контрольных работах 87 - 107 учебника.
Подключиться к телеграм-каналу "Учи английский". Онлайн-курс английского языка для начинающих.
Свойства векторов
1) Вектор
коллинеарный с вектором
2) ↑↑
↑↑
3) =
4)
=
-
5) Дано: система координат
модуль вектора = 5
= 12
Найдите: OA
Решение:
OA== 13
OA = = 13
Ответ: OA = 13
***
Пусть и
- данные векторы.
1) Отложим от точки O векторы =
и
=
2) Если ↑↓
- противоположно направленные векторы, то лучи OA и OB образуют угол
AOB
3) Если ↑↑
- сонаправленные векторы, то угол между векторами
и
равен 0°.
Угол между двумя векторами и
обозначается так:
Определение:
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
***
Задача 86.
Дано:
ABCD - квадрат
AC ∩ BD = O
Найти: углы между векторами BAC,
DAB = ?
Вычисление:
a) Т.к. AC - диагональ квадрата, то она делит угол A пополам. Тогда угол между векторами
= 45°
б) Т.к. ABCD - квадрат, то градусная мера угла между векторами =
= 90°, т.е. прямой угол.
***
Скалярное произведение векторов
Задача 87.
Дано:
ABCD - ромб
BD = AB; AC ∩ BD = 0
Вычислите: угол, образованный векторами
и
,
и
,
и
= ?
Решение:
а) По определению ромба ΔABD - равносторонний (AB = AD = BD).
Значит, все углы в треугольнике равны 60°. Тогда угол между векторами = 60°
б) Т.к. векторы ↑↑
сонаправленные, то угол между векторами
= 0°
в) Т.к. векторы ↑↓
- противоположно направленные, то угол между векторами
= 180°
***
Определение:
Скалярным произведением двух векторов (формула 1) называется произведение длин этих векторов на косинус угла (Cos) между ними.
Обозначение: или
=
*cos (a,b) (1)
Из формулы скалярного произведения векторов через косинус угла (1) следует:
1) скалярное произведение векторов больше нуля, если угол между векторами меньше 90°, т.е.
>0, если
<90°
скалярное произведение векторов меньше нуля, если угол между векторами больше 90°, т.е.
<0, если
>90°
2) Если ↑↑
- сонаправленные векторы, то угол между векторами равен нулю градусов, т.е.
=0°
=
3) Если
- перпендикулярные векторы и
=90°
Cos 90° = 0, то
= 0
Верно и обратное, т.е. если = 0
Вывод: = 0
***
Задача 88.
Дано:
Векторы
=2
=3
Угол α = 90°
Найти: скалярное произведение векторов
Решение:
Используя формулу скалярного произведения векторов через косинус угла, получаем
=
•
• Cos 90° = 2 • 3 • 0 = 0
Ответ: = 0
***
Скалярный квадрат
***
Задача 89.
Дано:
ΔABC - равносторонний
AB = a
Найти: скалярное произведение векторов 1) 2)
Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
1) =
•Cos (
) =
•
=
2) =
•Cos (120°) = -
***
Задача 90.
Дано:
Векторы
=2;
=3
1) угол α = 45°
2) α = 135°
Найти: скалярное произведение векторов
Решение:
1) =
•Cos 45° = 2 • 3 •
= 3
2) =
•Cos 135° = 2 • 3 •
= -3
Ответ: 1) 3; 2) -3
***
Задача 91.
Дано:
ΔABC - равносторонний
AB = a
BD - высота
Найти: скалярное произведение векторов
1)
2) 3)
Решение:
1) =
•Cos 120° =
• (-Cos 60°) = -
2) т.к. векторы перпендикулярны BD
AC
= 0
3) =
=
Ответ:1) -; 2) 0 ; 3)
Задача 92.
Дано:
ABCD - ромб
BD ∩ AC = 0
BD = AB
1) ;
2) ;
Найти: величину угла между векторами
1) ; 2)
Решение:
1) Рассмотрим ΔABC - равнобедренный, т.к. AB=BD.
Зная, что в ромбе все стороны равны, получаем ΔABD - равносторонний.
Тогда DAB =
BDA = 60°
По свойству ромба следует, что ADC = 120°
Тогда угол между векторами =120°
2) Т.к. стороны параллельны и векторы сонаправлены:
BA || CD и ↑↑
, тогда векторы параллельны
||
, поэтому векторы равны
=
.
Рассмотрим треугольник ΔCBD - равнобедренный, т.к. две стороны равны: BD=BC.
По определению ромба ΔCBD - равносторонний.
Значит, угол BDC = 60°
По свойству ромба угол ADC = 120°.
Тогда угол между векторами =120°.
Ответ: 1) =120°; 2)
=120°.
***
Скалярное произведение векторов в координатах
Теорема:
Если два вектора имеют координаты {x1; y1};
{ x2; y2}, то скалярным произведением двух векторов (формула 2) называется произведение их координат:
(2)
Доказательство:
1 случай.
Если какой-нибудь вектор - нулевой, то равенство (2) выполняется очевидно.
2 случай.
Если векторы и
- неколлинеарны.
Отложим векторы от произвольной точки O.
Рассмотрим треугольник ΔOBA.
Известно, что формула косинуса
c2 = a2 + b2 - 2ab • Cos α, получаем равенство
AB2 = OB2 + OA2 - 2 • OB • OA • Cos α (3)
Учитывая значения (*) =
;
=
;
=
; а также, что OA = |
|; OB = |
| ; AB = |
|, подставив значения (*) в равенство (3), получаем
||2 = |
|2 + |
|2 - 2
(4)
Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, получаем
=
;
=
.
Т.к. = {x2 - x1; y2 – y1}, то, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками
, получаем
|| =
.
Тогда из равенства (4) следует
(x2 - x1)2 + (y2 – y1)2 = x22 + y22 + x12 + y12 - 2
x22 -2 x2 x1 + x12 + y22 – 2 y2y1 + y12 = x22 + y22 + x12 + y12 - 2
-2 x2 x1– 2 y2y1 = - 2
= x2 x1 + y2 y1
***
Следствия:
1) Если векторы перпендикулярны, т.е.
{x1; y1}
{ x2; y2}
x1 x2 + y1 y2 = 0
2) По определению скалярного произведения двух векторов (формула 1)
=
•
• Cos α
Cos α =
Формула для нахождения косинуса угла через координаты векторов:
Для вычисления синуса и тангенса угла между векторами через косинус угла используются формулы приведения и тригонометрические функции.
***
Скалярное векторное произведение
Задача 93.
Если {
; -1};
{2; 3}, то
= 0,5 + (-3) = -2,5
***
Задача 94.
Если {x; -1};
{3; 2} и векторы перпендикулярны
, тогда
= 3x - 2
0 = 3x - 2
2 = 3x
x =
***
Задача 95.
Дано:
Координаты точек
A(2;8), B(-1;5), C(3;1)
Найти: косинус угла между векторами Cos A = ?
Решение:
Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
{b1 – a1; b2 – a2}, тогда
= {
} = {
}
= {
} = {
}
Используя формулу для нахождения углов через координаты векторов
Cos A = , получаем
Cos A = =
=
=
Ответ: Cos A =
***
Длина вектора
Задача 96.
Дано:
угол между векторами равен =
=60° ,
длины векторов || = 1, |
| = |
| = 2
Найти: произведение векторов ()
= ?
Решение:
()
=
+
= |
|•|
|•Cos 60° + |
|•|
|•Cos 60° = 1 + 2 = 3
Ответ: ()
= 3
***
Задача 97.
Дано:
=
,
=
длина векторов ||=|
|=1
- перпендикулярные векторы
Найти: произведение векторов = ?
Решение:
= (
)•(
) = 3
2 + 12
- 2
- 8
2 =
= 32 + 10
- 8
2 = 3|
|2 + 0 - 8|
|2 = -5.
Ответ: = -5.
***
Задача 98.
Дано:
{1,5 ; 2},
{4 ; -0,5}
Найти: произведение векторов = ?
Решение:
= x1 x2 + y1 y2 = 6 + (-1) = 5
Ответ: = 5.
***
Задача 99.
Дано:
{0 ; -3},
{5 ; x}
- перпендикулярные векторы
Найти: произведение векторов = ?
Решение:
= x1 x2 + y1 y2
0 = 0 + (-3x)
3x = 0
x = 0
Ответ: при x=0, .
***
Задача 100.
Дано:
Координаты точек
A(2;8), B(-1;5), C(3;1)
Найти: косинус угла векторов
1) Cos B = ?
2) Cos C = ?
Решение:
1)
Т.к. каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала
{b1 – a1; b2 – a2}, тогда
= {
} = {
}
= {
} = {
}
Используя формулу для нахождения углов через заданные координаты векторов
Cos B = , получаем
Cos B = =
= 0
2)
= {
} = {
}
= {
} = {
}
Cos C = =
=
=
Ответ: Cos B =0, Cos C =
***
Задача 101.
Дано:
, где i и j – координатные векторы
Найти: длину вектора || = ?
Решение:
Найдем координаты вектора .
{3; -4}
Т.к. длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат || =
, тогда получаем
|| =
=
= 5.
Ответ: || = 5.
***
Задача 102.
Дано:
ABCD - ромб
AB =, AD =
Доказать: диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны
ACBD или
=0
Доказательство:
Т.к. ABCD - ромб - параллелограмм, то векторы параллелограмма ,
=
-
= (
+
) (
-
) =
-
2 +
2 -
=
2 -
2 = =|
|2 -|
|2 = 0. Поэтому угол между векторами
= 90°. Значит, диагонали ромба в точке пересечения перпендикулярны AC
BD.
***
Задача 103.
Дано:
треугольник ΔABC - равнобедренный
AM - медиана
Доказать:
1) 4AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A
2) CH = AM
Доказательство:
1) Т.к. точка M - середина BC, тогда
2=
Значит, (2) • (2
) = (
)(
) =
= AB2 + 2AB + 2AB • AC • Cos A + AC2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A
Получаем 4AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • Cos A
2) По формуле, полученной выше, следует
4CH2 = AC2 + BC2 + 2AC • BC • Cos C
Т.к. треугольник ΔABC - равнобедренный, тогда AB = BC, A =
C
Cos
A = Cos
C
Получим, что 4CH2 = AC2 + BC2(=AB2) + 2AC • BC(=AB) • Cos C (= Cos A)
4CH2 = AC2 + AB2 + 2AC • AB • Cos A
4CH2 = 4AM2
=
2CH = 2AM | : 2
CH = AM
***
Задача 104.
Дано:
ABCD - выпуклый четырехугольник
BD = d1 и AC = d2 - диагонали
d1 ∩ d2 = O - точка пересечения диагоналей
Доказать:
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними
SABCD= d1 • d2 • Sin α
Доказательство:
Площадь четырехугольника - сумма площадей четырех треугольников.
SABCD= S1 + S2 + S3 + S4 , где
S1 = SΔAOB ; S2 = SΔCOB ; S3 = SΔCOD ; S4 = SΔAOD
S1 = BO • OA • Sin α
S2 = BO • OC • Sin (180° - α) =
BO • OC • Sin α
S3 = CO • OD • Sin α
S4 = AO • OD • Sin (180° - α) =
AO • OD • Sin α
Сложив S1 + S2 + S3 + S4, получаем
SABCD= BO • Sin α (OA+OC) +
+ OD • Sin α (CO+OA)
Т.к. OA+OC = AC, CO+OA = AC, BO + OD = BD тогда
SABCD=BO • AC • Sin α +
OD • AC • Sin α =
BD • AC • Sin α
Формула площади выпуклого четырехугольника:
SABCD= d1 • d2 • Sin α
***
Задача 105.
Дано:
два вектора образуют угол α = 150°,
длины векторов || = 2
, |
| = 2
Найти: длину вектора |2
-
| = ?
Решение:
BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB • AC • Cos 150°
BC2 = 48 + 4 - 2 • 4• 2 • (-
) = 52 + 24 = 76
BC = = 2
Ответ: BC = |2-
| = 2
***
Задача 106.
Дано:
Треугольник ΔABC
Угол B = 45°,
C = 70°
a=24,6
Найти: Угол в градусах A, стороны b, c
Решение:
A = 180° - (45° + 70°) = 75°
Используя теорему синусов
, получаем выражение
b =
≈ 19,2
c =
≈
≈ 25,5
Ответ: A = 75°; b ≈ 19,2; c ≈ 25,5.
***
Задача 107.
Дано:
длины векторов || = 5, |
| = 8,
угол между 2 векторами
=60°
Найти: значение векторов
1) ||= ?
2) ||= ?
Решение: По теореме косинусов
1)
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB • BC • Cos 120°
AC2 = 25 + 64 - 80 • (- 0,5) = 129
AC = ±
, но AC = -
не удовлетворяет решению задачи. Значит, AC =
.
2) BC2 = AB2 + AC2 - 2AB • AC • Cos 60°
BC2 = 89 - 80 • 0,5 = 49
BC = ±, но BC = - 7 не удовлетворяет решению задачи. Значит, BC = 7.
Ответ: || =
; |
| = 7.
***