ΔABC - прямоугольный треугольник
Катеты a = BC, b = AC
Гипотенуза c = AB
Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите известные параметры прямоугольного треугольника:
а) 2 катета,
б) катет и гипотенуза,
в) катет и противолежащий острый угол,
г) гипотенуза и острый угол.
Заполните поле "Текст с картинки". Нажмите "Решить".
Калькулятор сторон и углов треугольника
Найти синус, косинус, тангенс, секанас, косеканс угла онлайн
Содержание электронного справочника по математике для школьников на данной онлайн странице:
- – задачи 54 - 56 представлены с примерами решений и ответами по теме "Тригонометрические функции";
- – в тестах с номерами 57 - 63 рабочей тетради рассматривается, как решать задания по предмету "Тригонометрия за 9 класс", если требуется определить синус, косинус, тангенс, используя основные формулы приведения;
- – задачи, как вычислять координаты точки через косинус и синус угла, объясняются в контрольных работах по тригонометрии 64 - 68;
- – тема "Формула площади треугольника, параллелограмма" представлена в самостоятельных работах 69 - 71 учебника;
- – теорема синусов рассматривается в гдз по геометрии с номерами 72 - 74;
- – теорема косинусов для треугольника рассматривается в примере 75 данной тетради-задачника.
Подключиться к телеграм-каналу "Учи английский". Онлайн-курс английского языка для начинающих.
Основные тригонометрические функции
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMD.
;
Но OM=r=1, MD=y, OD=x
Тогда
Sin α = y 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ Sin α ≤ 1
Cos α=
Cos α = x –1 ≤ x ≤ 1; –1 ≤ Cos α ≤ 1
Определение:
Для любых углов α (читается: альфа): 0°≤ α≤180°
Sin α (синусом угла α) называется ордината точки M, а
Cos α (косинусом угла α) называется абсцисса точки M.
Задача 54.
Дано:
Окружность (0;r)
Координаты точек A(1;0),
B(–1;0), M1(0;1); M2(;
)
Найти:
1) принадлежат ли данные точки окружности,
2) синус, косинус, тангенс углов
Решение:
1) Проверяем точку A
x2 + y2 = r2
12 + 02 = 12
1=1 (верно, данная точка принадлежит окружности)
Проверяем точку B
(–1)2 + 02 = 12
12 = 12
1=1 (верно)
Проверяем точку M1
02 + 12 = 12
1=1 (верно)
Проверяем точку M2
=(1)2
=1
=1
= 1
1=1 (верно)
2) SinAOM1=1, Cos
AOM1=0
tgAOM1≠
(не определяется)
SinAOM2=
, Cos
AOM2=
,
tgAOM2=
=
=
SinAOB=0, Cos
AOB=–1
tgAOM=
=
= 0
0 | 90 | 180 |
---|---|---|
синус Sin 0° = 0 | синус Sin 90° = 1 | синус Sin 180° = 0 |
косинус Cos 0° = 1 | косинус Cos 90° = 0 | косинус Cos 180° = –1 |
тангенс tg 0° =![]() | тангенс tg 90° ≠ ![]() | тангенс tg 180° = 0 |
tg α =
Основное тригонометрическое тождество (0°≤ α ≤180°)
Дуга
ACB является частью окружности, заданное уравнением
x2 + y2 = 1, где
x = Cos α; y = Sin α
Тогда Cos2α + Sin2α = 1
***
Задача 55.
Дано:
Косинус угла Cos α =
Вычислите: синус угла альфа Sin α = ?
Решение:
Cos2α + Sin2α = 1
Sin2α = 1 – Cos2α
Sin α =
Учитывая условия, что 0°≤ α≤180°, 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем
Sin α = =
=
Ответ: Sin α =
***
Задача 56.
Дано:
Синус угла Sin α =
Найти: косинус угла альфа Cos α = ?
Решение:
Cos2α + Sin2α = 1
Cos2α = 1 – Sin2α
Cos α =
Cos α =![]() | Cos α = – ![]() |
Cos α =![]() | Cos α = –![]() |
Ответ: Cos α =
***
Формулы приведения
Таблица. Тригонометрические формулы приведения - синус, косинус в тригонометрии
Sin (90° – α) = Cos α | Cos (90° – α) = Sin α (0°≤ α≤90°) |
Sin (180° – α) = Sin α | Cos (180° – α) = – Cos α (0°≤ α≤180°) |
Задача 57.
Дано:
Косинус угла Cos α =
Найти: синус угла альфа Sin α = ?
Решение:
Cos2α + Sin2α = 1
Sin2α = 1 – Cos2α
Sin α =
Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем
Sin α = =
=
Ответ: Sin α =
***
Задача 58.
Дано:
Косинус угла Cos α =
Найти: синус угла альфа Sin α = ?
Решение:
Cos2α + Sin2α = 1
Sinα =
Sin α = =
=
Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем
Sin α ==
Ответ: Sin α =
***
Задача 59.
Дано:
Синус угла Sin α =
Найти: косинус угла альфа Cos α = ?
Решение:
Cos2α + Sin2α = 1
Cos2α = 1 – Sin2α
Учитывая условие, что –1 ≤ Cos α ≤ 1, получаем
Cos α = =
Cos α =
Ответ: Cos α =
***
Задача 60.
Дано:
Синус угла Sin α =0
Найти: косинус угла альфа Cos α = ?
Решение:
Cos2α + Sin2α = 1
Cos2α = 1 – Sin2α
Учитывая условие, что –1 ≤ Cos α ≤ 1, получаем
Cos α = =±1
Ответ: Cos α =±1
***
Задача 61.
Дано:
Косинус угла Cos α = 1
Найти: тангенс угла альфа tg α = ?
Решение:
tg α =
Cos2α + Sin2α = 1
Sin α = ±
Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем
Sin α = 0
Используя формулу для тангенса, получаем
tg α =
tg α = 0
Ответ: tg α = 0
***
Задача 62.
Дано:
Косинус угла Cos α =
Найти: тангенс угла альфа tg α = ?
Решение:
tg α =
Cos2α + Sin2α = 1
Sin α = ±=±
Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем
Sin α =
tg α ==
=
=
Ответ: tg α =
***
Задача 63.
Дано:
Углы 120°,
135°,
150°
Найти: синус, косинус, тангенс углов
Sin α =? Cos α = ? tg α = ?
Решение:
Sin 120° = Sin (180° - 60°) = Sin 60° =
Cos 120° = Cos (180° - 60°) = - Cos 60° = -
tg 120° = =
• (-2) = -
Sin 135° = Sin (180° - 45°) = Sin 45° =
Cos 135° = Cos (180° - 45°) = - Cos 45° = -
tg 135° = =
•
= -1
Sin 150° = Sin (180° - 30°) = Sin 30° =
Cos 150° = Cos (180° - 30°) = - Cos 30° = -
tg 150° = =
•
= -1 •
= -
***
Координаты точки через косинус и синус угла
Задача 64.
Дано: график окружности
Точка A(x;y), y>0
A(x;y) не лежит на окружности (0;r)
Угол α
Доказать:
x= OA • Cos α
y= OA • Sin α
Доказательство:
Точка M лежит на окружности с центром в начале координат и на прямой OA, т.е.
M=окр(0;r=1) ∩ OA или окр(0;r=1) ∩ OA=M
Координаты точки M(x=Cos α; y=Sin α)
Координаты вектора {Cos α; Sin α}, т.к. OM - радиус-вектор точки M.
С помощью формулы для вычисления длины вектора по его координатам получаем
=
=
=
=1
Тогда =OA•
{OA•Cos α; OA• Sin α} (*)
Т.к. - радиус-вектор точки A, тогда
{x;y} (**)
Тогда, учитывая условия (*) и (**), получаем
формула, как найти координаты точки через косинус и синус угла:
x= OA • Cos α;
y= OA • Sin α
***
Задача 65.
Дано:
OA=3
α= 45°
Найти: координаты точки A(x;y)
Решение:
Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем
x= OA • Cos α = 3 • Cos 45°= 3 • =
y= OA • Sin α = 3 • Sin 45°=
Ответ: A(;
)
***
Задача 66.
Дано:
координаты точки A(2;2)
окружность с центром в начале координат (0;0)
Найти: угол α
Решение:
Т.к. по условию координаты точки A(2;2).
Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем
A (OA • Cos α; OA • Sin α);
Тогда OA • Cos α = 2
Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем
OA = =
• Cos α = 2
Cos α = =
α =45°
Ответ: α =45°
***
Задача 67.
Дано: длина отрезка и величина угла
1) OA=1,5 α= 90° | 2) OA=5 α= 150° | 3) OA=2 α= 30° |
Найти: координаты точки A(x;y)
Решение:
1) x= OA • Cos α = 1,5 • Cos 90°= 1,5 • 0 = 0
y= OA • Sin α = 1,5 • Sin 90°= 1,5 • 1 = 1,5
2) x= OA • Cos α = 5 • Cos (180° - 30°)= 5 • (- Cos 30°) = -
y= OA • Sin α = 5 • Sin (180 - 30°) = 5 • Sin 30° = 5 • =
= 2,5
3) x= OA • Cos α = 2 • Cos 30° = 2 • =
y= OA • Sin α = 2 • Sin 30° = 2 • = 1
Ответ: 1) (0; 1,5) 2) (-; 2,5) 3) (
;1)
***
Задача 68.
Дано:
1) A(0;3)
2) B(–;1)
Найти: угол α
Решение:
1) Т.к. по условию координаты точки A(0;3).
Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем
A (x=OA • Cos α; y=OA • Sin α);
Тогда x=OA • Cos α = 0
y= OA • Sin α = 3
Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем
OA = = 3
3 • Cos α = 0
Cos α = 0
α = 90°
2) Т.к. по условию координаты точки B(-;1).
Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем
B (x=OB • Cos α; y=OB • Sin α);
Тогда x = OB • Cos α = - (*)
Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем
OB = =
= 2
Используя условие (*), получаем
2 • Cos α = -
Cos α = -
α = 150°
Ответ: 1) 90° ; 2) 150°
***
Теорема:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус (Sin) угла между ними.
Дано:
Треугольник ΔABC
Стороны треугольника
BC=a, AC=b, AB=c
S - площадь треугольника
Доказать:
SΔABC=a • b • Sin C
Доказательство:
Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту. Поэтому
SΔABC=a • h (*), где h – высота треугольника, a - основание
Но высота h = b • Sin C (**).
Используя условие (**) в формуле (*), тогда
Формула площади треугольника через синус, основание и высоту
SΔABC=• a • b • Sin C
a = ; b =
***
Задача 69.
Дано:
1) AB = 6![]() AC = 4 см | 2) BC = 3 см AB = 18 | 3) AC = 14 см CB = 7 см |
Найти: площадь треугольника SΔ
Решение:
Используя формулу площади треугольника через синус, основание и высоту, получаем
SΔ=• a • b • Sin α; Sin 60° =
1) SΔ=• 6
• 4 •
= 6
•
= 6
= 12
см2
2) SΔ=• 3 • 18
•
=
=
= 27 см2
3) SΔ=• 14 • 7 • Sin 48°, где Sin 48° ≈ 0,7
Тогда SΔ= 7 • 7 • 0,7 ≈ 34,3 см2
Ответ: 1) 12см2 2) 27 см2 3) 34,3 см2
***
Задача 70.
Дано:
Площадь треугольника SΔABC= 60 см2
Сторона AC = 15
Угол A = 30°
Найти: сторону AB
Решение:
SΔ= • AC • AB • Sin 30° =
• AC • AB •
=
• AC • AB;
AB = =
= 16 см
Ответ: AB = 16 см
***
Задача 71.
Теорема:
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус (Sin) угла между ними.
Дано:
ABCD - параллелограмм
AB = a
AD = b
S - площадь параллелограмма
Доказать: S = a • b • SinA = a • b • Sin α
Доказательство:
S = AD • BH
Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔBDC. Данные треугольники равны по третьему признаку.
Тогда площади треугольников также равны SΔABD = SΔBDC
SΔBDC=• BC • CD • Sin α
Тогда площадь параллелограмма
SABCD= SΔABD + SΔBDC= 2 • SΔBDC
SABCD=2 • • a • b • Sin α = a • b • Sin α
***
Теорема синусов
Теорема синусов для треугольника. Каждая сторона произвольного треугольника пропорциональна синусу противолежащего угла.
Дано:
Треугольник ΔABC
AB=c, BC=a, AC=b
Доказать:
Доказательство:
По теореме о площади треугольника получаем
SΔABC=c • b • Sin A (1)
SΔABC=a • b • Sin C (2)
SΔABC=c • a • Sin B (3)
Из равенства (1) и (2) следует, что
c • b • Sin A =
a • b • Sin C
c • Sin A = a • Sin C
Тогда получаем (*)
Из равенства (2) и (3) следует, что
a • b • Sin C =
c • a • Sin B
b • Sin C = c • Sin B
Тогда получаем (**)
Из равенств (*) и (**) получаем
- формула синуса треугольника
***
Задача 72.
Дано:
Треугольник ΔABC
Сторона AC = 12 см
Угол A = 75°
Угол С = 60°
Как найти: сторону AB треугольника, площадь треугольника SΔABC= ?
Решение: Используя теорему синусов, получаем
(*)
B = 180° ─ (60° + 75°) = 45°
Подставив известные значения переменных в равенство (*), получаем
AB =
= 6
≈ 15 (см)
Т.к. площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус (Sin) угла между ними, получаем равенство
SΔABC=• AB • AC • Sin A =
• 15 • 12 • Sin 75° = 90 • 0,9659 ≈ 87 (см2)
Ответ: AB ≈ 15 см, SΔABC ≈ 87 см2.
***
Задача 73.
Дано:
Треугольник ΔABC
Сторона BC = см
Угол A = 45°
Угол С = 30°
Найти: сторону AB треугольника
Решение:
Используя теорему синусов, получаем
AB = 1 см.
Ответ: AB = 1 см.
***
Задача 74.
Дано:
ABCD – прямоугольник
Диагональ AC = 10 см
Угол
BOC = 30°
Найти: Площадь прямоугольника
SABCD=?
Решение:
Т.к. ABCD - прямоугольник, тогда по определению прямоугольника ABCD является параллелограммом. Следовательно, он обладает свойствами и признаками параллелограмма.
AC=BD и BD=OD, AO=OC
По признаку параллелограмма BO=OC; OD=AO.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔBOC (BO=OC).
Т.к. угол BOC = 30°, тогда
OBC =
BCO = (
180° - 30°) : 2 = 75°, т.к. треугольник Δ BOC - равнобедренный.
Рассмотрим треугольник ΔBCD, где C = 90°.
Угол BDC = 180° - (75° + 90°) = 15°.
По теореме синусов составим соотношения:
CD = 0,9659 • 10 = 9,6 (см)
По теореме Пифагора
BC = =
=
= 2,8 (см)
Тогда SABCD= BC • CD = 2,8 • 9,6 = 25 (см2).
Ответ: SABCD= 25 см2.
***
Теорема косинусов
Теорема косинусов для треугольника. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон и минус удвоенное произведение этих сторон на косинус (Cos) угла между ними.
Дано:
Треугольник ΔABC
AB=c, BC=a, AC=b
Доказать:
a2 = b2 + c2 - 2bc • Cos A
Доказательство:
Введем прямоугольную систему координат так, что
1) Точка A - начало координат или A(0;0)
2) Сторона AB лежит на оси абсцисс.
Тогда получаем B(c;0), C (b • Cos A; b • Sin A)
Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем
a2 = BC2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (b • Cos A - c)2 + (b • Sin A - 0)2 =
= b2 • Cos2 A - 2bc • Cos A + c2 + b2 • Sin2 A = b2 (Cos2 A + Sin2 A) - 2bc • Cos A + c2 = b2 • 1 + c2 - 2bc • Cos A = b2 + c2 - 2bc • Cos A
Формулы теоремы косинусов:
- формула косинуса треугольника
***
Задача 75.
Дано:
Треугольник ΔABC
Высота CH = hc
Высота BH1 = hb
Угол A = α
Найти: площадь треугольника
SΔABC = ?
Решение:
Пусть AB=c, AC=b
Тогда SΔABC =
Рассмотрим треугольник ΔABH1:
Sin α=
c=
(1)
Рассмотрим треугольник ΔAHC:
Sin α=
b=
(2)
Используя равенства (1) и (2), находим площадь треугольника
SΔABC ==
Ответ: SΔABC =
- формула, как найти площадь треугольника через две высоты и синус угла.
***