Содержание электронного справочника по математике для школьников на данной онлайн странице:

– задачи 54 - 56 представлены с примерами решений и ответами по теме "Тригонометрические функции";
– в тестах с номерами 57 - 63 рабочей тетради рассматривается, как решать задания по предмету "Тригонометрия за 9 класс", если требуется определить синус, косинус, тангенс, используя основные формулы приведения;
– задачи, как вычислять координаты точки через косинус и синус угла, объясняются в контрольных работах по тригонометрии 64 - 68;
– тема "Формула площади треугольника, параллелограмма" представлена в самостоятельных работах 69 - 71 учебника;
– теорема синусов рассматривается в гдз по геометрии с номерами 72 - 74;
– теорема косинусов для треугольника рассматривается в примере 75 данной тетради-задачника.

Основные тригонометрические функции

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMD.

;

Но OM=r=1, MD=y, OD=x

Тогда

Sin α = y 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ Sin α ≤ 1

Cos α=

Cos α = x –1 ≤ x ≤ 1; –1 ≤ Cos α ≤ 1

Определение:

Для любых углов α (читается: альфа): 0°≤ α≤180°

Sin α (синусом угла α) называется ордината точки M, а

Cos α (косинусом угла α) называется абсцисса точки M.

Задача 54.

Дано:

Окружность (0;r)

Координаты точек A(1;0),

B(–1;0), M₁(0;1); M₂(;)

Найти:

1) принадлежат ли данные точки окружности,

2) синус, косинус, тангенс углов

Решение:

Ответ: Sin α =

***

Задача 56.

Дано:

Синус угла Sin α =

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

Ответ: Cosα =

***

Формулы приведения

Таблица. Тригонометрические формулы приведения - синус, косинус в тригонометрии

Sin (90° – α) = Cos α	Cos (90° – α) = Sin α (0°≤ α≤90°)
Sin (180° – α) = Sin α	Cos (180° – α) = – Cos α (0°≤ α≤180°)

Задача 57.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

Ответ: Sin α =

***

Задача 58.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

Ответ: Sin α =

***

Задача 59.

Дано:

Синус угла Sin α =

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

Ответ: Cosα =

***

Задача 60.

Дано:

Синус угла Sin α =0

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

Ответ: Cosα =±1

***

Задача 61.

Дано:

Косинус угла Cos α = 1

Найти: тангенс угла альфа tg α = ?

Решение:

Ответ: tg α = 0

***

Задача 62.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: тангенс угла альфа tg α = ?

Решение:

Ответ: tg α =

***

Задача 63.

Дано:

Углы 120°, 135°, 150°

Найти: синус, косинус, тангенс углов

Sin α =? Cos α = ? tg α = ?

Решение:

Ответ: A(

;

)

***

Задача 66.

Дано:

координаты точки A(2;2)

окружность с центром в начале координат (0;0)

Найти: угол α

Решение:

Ответ: α =45°

***

Задача 67.

Дано: длина отрезка и величина угла

1) OA=1,5

α= 90°

2) OA=5

α= 150°

3) OA=2

α= 30°

Найти: координаты точки A(x;y)

Решение:

Ответ: 1) (0; 1,5) 2) (-

; 2,5) 3) (

;1)

***

Задача 68.

Дано:

1) A(0;3)

2) B(–;1)

Найти: угол α

Решение:

Ответ: 1) 90° ; 2) 150°

***

Теорема:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус (Sin) угла между ними.

Дано:

Треугольник ΔABC

Стороны треугольника

BC=a, AC=b, AB=c

S - площадь треугольника

Доказать:

S_Δ_ABC=a • b • Sin C

Доказательство:

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту. Поэтому

S_Δ_ABC=a • h (*), где h – высота треугольника, a - основание

Но высота h = b • Sin C (**).

Используя условие (**) в формуле (*), тогда

Формула площади треугольника через синус, основание и высоту

S_ΔABC=• a • b • Sin C

a = ; b =

***

Задача 69.

Дано:

1) AB = 6

см

AC = 4 см

A = 60°

2) BC = 3 см

AB = 18см

B = 45°

3) AC = 14 см

CB = 7 см

C = 48°

Найти: площадь треугольника S_Δ

Решение:

Ответ: 1) 12

см² 2) 27 см² 3) 34,3 см²

***

Задача 70.

Дано:

Площадь треугольника S_Δ_ABC= 60 см²

Сторона AC = 15

Угол A = 30°

Найти: сторону AB

Решение:

Ответ: AB = 16 см

***

Задача 71.

Теорема:

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус (Sin) угла между ними.

Дано:

ABCD - параллелограмм

AB = a

AD = b

S - площадь параллелограмма

Доказать: S = a • b • SinA = a • b • Sin α

Доказательство:

S = AD • BH

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔBDC. Данные треугольники равны по третьему признаку.

Тогда площади треугольников также равны S_Δ_ABD = S_Δ_BDC

S_Δ_BDC=• BC • CD • Sin α

Тогда площадь параллелограмма

S_ABCD= S_Δ_ABD + S_Δ_BDC= 2 • S_Δ_BDC

S_ABCD=2 • • a • b • Sin α = a • b • Sin α

***

Теорема синусов

Теорема синусов для треугольника. Каждая сторона произвольного треугольника пропорциональна синусу противолежащего угла.

Дано:

Треугольник ΔABC

AB=c, BC=a, AC=b

Доказать:

Доказательство:

По теореме о площади треугольника получаем

S_ΔABC=c • b • Sin A (1)

S_ΔABC=a • b • Sin C (2)

S_ΔABC=c • a • Sin B (3)

Из равенства (1) и (2) следует, что

c • b • Sin A = a • b • Sin C

c • Sin A = a • Sin C

Тогда получаем (*)

Из равенства (2) и (3) следует, что

a • b • Sin C =c • a • Sin B

b • Sin C = c • Sin B

Тогда получаем (**)

Из равенств (*) и (**) получаем

- формула синуса треугольника

***

Задача 72.

Дано:

Треугольник ΔABC

Сторона AC = 12 см

Угол A = 75°

Угол С = 60°

Как найти: сторону AB треугольника, площадь треугольника S_Δ_ABC= ?

Решение:

Ответ: AB ≈ 15 см, S_Δ_ABC ≈ 87 см².

***

Задача 73.

Дано:

Треугольник ΔABC

Сторона BC = см

Угол A = 45°

Угол С = 30°

Найти: сторону AB треугольника

Решение:

Ответ: AB = 1 см.

***

Задача 74.

Дано:

ABCD – прямоугольник

Диагональ AC = 10 см

Угол

BOC = 30°

Найти: Площадь прямоугольника

S_ABCD=?

Решение:

Ответ: S_ABCD= 25 см².

***

Теорема косинусов

Теорема косинусов для треугольника. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон и минус удвоенное произведение этих сторон на косинус (Cos) угла между ними.

Дано: