Длина окружности, площадь круга и кругового сектора

Вывод формулы длины окружности.

Пусть C и C′ - длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.

P_n и P_n′ - их периметры, a_n и a_n′ - стороны.

P_n = n • a_n = n • 2R • Sin

P_n′ = n • a_n = n • 2R′ • Sin

Тогда

Зная, что периметры P_n и P_n′ - приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем

Но в силу равенства получаем

По свойству пропорции

Значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.

Формула длины окружности:

***

 

Задача 124.

Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

Если C = 82, то радиус окружности R == = 13,1

Если C = 18π, то радиус окружности R == = 9

***

 

Задача 125.

Дано:

a - сторона правильного треугольника

 

Найдите: длину описанной окружности

Решение:

Ответ: 8π см.

***

 

Задача 128.

Дано:

ABCD - квадрат,

сторона квадрата AB = a

 

Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?

Решение:

Ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a

***

 

Задача 129.

Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур

1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;

a, b – катеты

2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) ABCD – вписанный прямоугольник,

BC = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

 

Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?

Решение:

Ответ: радиус равен R =

***

Задача 131.

Дано:

ABCD – квадрат,

сторона квадрата AB = a

 

Вычислите:

площадь закрашенной фигуры S_EFE1F1 = ?

Решение:

Ответ: .

***

 

Задача 132.

Дано:

окружность (O;OH₁)

окружность (O;OH₂)

окружность (O;OH₃)

окружность (O;OH₄)

OH₁ = 1, OH₂ = 2

OH₃ = 3; OH₄ = 4

 

Найти: площадь окружности (O;OH₁),

площадь каждой из трех мишеней = ?

Решение:

Ответ: S_окр1 = π; S_м2 = 3π; S_м3 = 5π; S_м4 = 7π.

***

 

Задача 133.

Дано:

круг (O;R), описанный около четырехугольника и треугольника

1) ABCD – прямоугольник,

a и b – стороны прямоугольника

2) Δ ABC – прямоугольный,

a – катет,

α – противолежащий угол

 

Найти: площадь круга, изображенного на рисунке.

S = πR² = ?

Решение:

Ответ: 1) π •; 2) .

***

 

Задача 134.

Дано:

ΔABC – прямоугольный

круг₁ (O₁; AO₁) на гипотенузе AB

круг₂ (O₂; BO₂) на катете BC

круг₃(O₃; CO₃) на катете AC

 

Доказать:

Сумма площади полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах

S₁ = S₂ + S₃

Доказательство:

Пусть AB = c; AC = a; BC = b.

Формула площади сектора круга

S =

S = =

S₁ = • O₁A², где O₁A = c S₁ =•c²

S₂ = • O₂B², где O₂B = b S₂ =•b²

S₃ = • O₃C², где O₃C = a S₃ =•a²

Тогда S₂ + S₃ =•a² +•b² = • (a² + b²)

По теореме Пифагора:

c² = a² + b²

Следовательно,

S₂ + S₃ = • (a² + b²) = • c² = S₁

Поэтому S₁ = S₂ + S₃

***

 

Задача 135.

Дано:

окружность (O; AO)

AO – радиус

AO = 10 см

AMB = AOB = 60°

 

Определите:

чему равна площадь сектора круга с дугой ALB = ?

Решение:

Ответ: площадь сегмента круга S ≈ 262 см².

***

 

Задача 136.

Дано:

круг (O; OH) вписан в ΔABC –

равносторонний

AB = a

Найти: чему равна площадь круга

S_круга = ?

Решение:

Ответ: S_круга =

***

Задача 137.

Дано:

Малый круг (O; OD)

Площадь большого круга

S _{круг(O; OC)} = 314 мм²

Диаметр малого круга

D _{круг(O; OD)} = 18,5 мм

 

Найти: разницу диаметров

HC = ?

Решение:

Ответ: 0,75 мм.

***

 

Задача 138.

Дано:

Малый круг (O; OH) – отверстие трубы

Радиус малой трубы OH = 3м

Разница диаметров между двумя трубами AB = 1м

На квадратный метр уходит 0,8 кубических дециметров песка

1 м² → 0,8 дм³

 

Найти: сколько нужно песка, чтобы заполнить пространство между двумя трубами

Решение:

Ответ: ≈ 17,6 дм³.

***