Правильный многоугольник

  • Корзина

    Пусто

Содержание онлайн страницы:

  • – примеры решений по теме "Формула углов правильного многоугольника" представлены в задачах 108 - 112;
  • – тема "Описанная окружность" объясняется в контрольных работах 113 - 116 учебника;
  • – задачи, как находить радиусы правильных многоугольников, а также задания по теме "Вписанные и описанные правильные многоугольники", рассматриваются в примерах 117 - 123 данной рабочей тетради.

Определение правильного многоугольника:

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, углы которого равны между собой и стороны равны. Например, правильным многоугольником является квадрат, равносторонний треугольник.

Теорема - Вывод формулы для вычисления углов правильного многоугольника.

 

Дано:

правильный многоугольник,

углы α1, α2, α3, α4 ...

 

Доказать:

αn = • 180°

Доказательство:

Сумма углов данного правильного многоугольника (n - 2) • 180°.

По условию α1 = α2 = α3 = α4 = ...

каждый угол по • 180°, т.е. справедлива

формула для вычисления углов правильного многоугольника:

αn = • 180°

***

 

Задача 108.

Дано: Правильный шестиугольник, т.е. n = 6

Найти: угол правильного шестиугольника

Решение:

αn = • 180° = = 120°

Ответ: 120°

***

 

Задача 109.

Дано: Правильный многоугольник, где n - количество сторон многоугольника

Найти: n - сколько сторон содержится в правильном многоугольнике

Решение:

1) αn = 60°

αn = • 180°

60° •n = (n - 2) • 180°

60° •n = 180°•n - 360°

- 120° • n = - 360°

n = 3

2) т.к. угол правильного многоугольника αn = 135°

135° •n = (n - 2) • 180°

135° •n - 180°•n = - 360°

n = 8

 

***

Задача 110.

Дано:

ABCDEF - правильный многоугольник,

внешние углы β1; β2; ... ; βn

 

Найти:

сумму внешних углов β1 + β2 + ... + βn = ?

Решение:

Т.к. шестиугольник правильный, то по определению правильного многоугольника

каждый угол в правильном многоугольнике равен αn = • 180°

αn = • 180° = 120°

Т.к. все углы в правильном многоугольнике равны, то и внешние углы тоже будут равны, а именно β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = β6 = 180° - FAB = 180° - 120° = 60°

Тогда β1 + β2 + β3 + β4 + β5 + β6 = 60° • 6 = 360°.

***

 

Задача 111.

Дано:

правильный многоугольник,

1) правильный треугольник, n = 3

2) n = 5

3) n = 18

 

Найти: угол правильного многоугольника

Решение:

1) αn = • 180°

3 • αn = 180°

αn = 60°

 

2)

5 • αn = 3 • 180°

αn = 108°

 

3)

18 • αn = 16 • 180°

αn = 160°

Ответы: каждый угол правильного многоугольника равен 1) 60°; 2) 108°; 3) 160°.

***

 

Задача 112.

Дано:

правильный многоугольник,

αn = 90°

 

Определите: сколько сторон имеет правильный многоугольник n = ?

Решение:

αn = • 180°

90° •n = (n - 2) • 180°

90° •n - 180°•n = - 360°

-90° •n = - 360°

n = 4

Ответ: количество сторон правильного многоугольника n = 4.

***

 

Наверх

Правильный многоугольник и описанная окружность

Определение:

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

 

Теорема:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

Дано:

A1A2A3…An - правильный многоугольник

 

Доказать:

существует единственная окружность с центром в точке O и радиусом R, на которой лежат вершины правильного многоугольника

! Окр (O;R): A1; A2; A3;…An Окр (O;R)

Доказательство:

1) Проведем биссектрисы угла A1 и угла A2.

Т.к. многоугольник правильный, то A1 = A2

1 =2 =3 =4.

Из того, что 1 =3 следует, что треугольник ΔA1OA2 - равнобедренный, поэтому A1O = OA2

Рассмотрим треугольник ΔA2OA3:

1) A2O - общая

2) A1A2 = A2A3

3) 3 =4

Тогда по первому признаку равенства треугольников

Δ A1OA2 = Δ A2OA3. Следовательно, A2O = A3O.

Соединив каждую оставшуюся вершину с точкой O, можно показать, что все треугольники между собой равны.

 

Тогда A1O =A2O = A3O = ... = AnO

Т.к. точка O - центр окружности и радиус равен R = A1O =A2O = A3O = ... = AnO , значит,

Окр (O;R); A1; A2; A3;…An Окр (O;R)

 

Единственность:

Возьмем какие-нибудь три вершины правильного многоугольника, они образуют треугольник, около которого можно описать только одну окружность, значит, около данного многоугольника можно описать только одну окружность.

***

 

Задача 113.

Дано:

правильный многоугольник,

дуга AB= 60° ( AB = 60°)

AB - сторона правильного многоугольника

 

Найти:

количество сторон правильного многоугольника n = ?

Решение:

Т.к. градусная мера AB = 60° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB.

ΔAOB - равнобедренный, где OAB = OBA =

= (180° - 60°) : 2 = 60°.

Тогда ΔAOB - равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 60° • 2 = 120°.

Зная, что

αn = • 180°

120° •n = (n - 2) • 180°

120° •n - 180°•n = - 360°

-60° •n = - 360°

n = 6

Ответ: число сторон правильного многоугольника n = 6.

***

 

Задача 114.

Дано:

правильный многоугольник,

1) AB = 36°

2) AB = 18°

AB - сторона правильного многоугольника

 

Найти:

количество сторон многоугольника n = ?

Решение:

1)

Т.к. градусная мера AB = 36° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB.

ΔAOB - равнобедренный, где OAB = OBA =

= (180° - 36°) : 2 = 72°.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 72° • 2 = 144°.

Зная, что

αn = • 180°

144° •n = (n - 2) • 180°

144° •n - 180°•n = - 360°

-36° •n = - 360°

n = 10

 

2)

Т.к. градусная мера AB = 18° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB, где AOB - центральный.

ΔAOB - равнобедренный (OA = OB = r), где OAB =

=OBA = (180° - 18°) : 2 = 81°.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 81° • 2 = 162°.

Зная, что

αn = • 180°

162° •n = (n - 2) • 180°

162° •n - 180°•n = - 360°

-18° •n = - 360°

n = 20

Ответ: 1) n = 10; 2) n = 20.

***

 

Наверх

Вписанная и описанная окружность в правильном многоугольнике

Вывод:

В правильных многоугольниках центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

 

Задача 115.

Дано:

A1A2A3A4A5 - правильный пятиугольник

αn = • 180° = 108°

 

Доказать:

A1A3 = A1A4

Доказательство:

По определению правильного многоугольника в данном пятиугольнике все стороны и углы между собой равны.

Рассмотрим треугольники ΔA1A2A3 и ΔA1A4A5.

A1A2 = A1A5

A2A3 = A5A4

A2 =A5

Тогда по первому признаку равенства треугольников (ΔA1A2A3 = ΔA1A4A5) следует, что A1A3 = A1A4 как соответственные стороны.

***

 

Задача 116.

Дано:

ABCD - квадрат

Соотношение отрезков

AM : MK : KD = 1 : : 1

 

Доказать:

MNOZLFEK - правильный многоугольник

Доказательство:

ΔAMN = ΔOBZ = ΔLCF = ΔEKD (по первому признаку треугольников)

По теореме Пифагора:

MN = OZ = LF = EK =

По условию NO = ZL = EF = MK =

Значит, все стороны равны.

Т.к. 1=2 = 45°, то NMK=MKE = KEF=EFL = FLZ=ZON = … = 180° - 45° = 135°

Из этого следует, что MNOZLFEK - правильный восьмиугольник.

***

 

Наверх

Правильный многоугольник и вписанная окружность

Теорема:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Дано:

A1A2A3…An - правильный многоугольник

 

Доказать:

существует единственная вписанная окружность с центром в точке O и радиусом R

! Окр (O;R): H1; H2; H3;…Hn Окр (O;R)

Доказательство:

1) Проведем высоты треугольников, т.е. OH1; OH2; …; OHn

Известно, что треугольники ΔOA1A2 = ΔOA2A3 = … = ΔOAnA1.

Следовательно, OH1 = OH2 = … = OHn . Тогда H1; H2; H3;…Hn Окр (O;R).

Единственность:

2) Предположим, что наряду с Окр (O;R) есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник.

Тогда ее центр O1 равноудален от сторон многоугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис, лежащих на каждом угле многоугольника.

Значит, радиус этой окружности равен OH1 и из этого следует, что окружности совпадают.

***

 

Задача 117.

Дано:

правильный многоугольник,

дуга AB= 72° ( AB = 72°)

AB - сторона правильного n-угольника

 

Найти:

количество сторон многоугольника n = ?

Решение:

Т.к. градусная мера AB = 72° < 180°, то дуга равна углу, т.е.

AB = AOB, где угол AOB - центральный.

ΔAOB - равнобедренный (OA = OB = r), где

OAB = OBA = (180° - 72°) : 2 = 54°.

Тогда ΔAOB - равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 54° • 2 = 108°.

Зная, что

αn = • 180°

108° •n = (n - 2) • 180°

108° •n - 180°•n = - 360°

-72° •n = - 360°

n = 5

Ответ: n = 5.

***

 

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Дано:

A1A2A3…An - правильный многоугольник

R - радиус описанной окружности

r - радиус вписанной окружности

an - сторона многоугольника

 

Доказать:

1) площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности

Sn = Pn • r

2) сторона правильного многоугольника равна удвоенному произведению радиуса описанной окружности на синус угла (Sin), равному числу от деления 180° на n - количество сторон многоугольника

an = 2R • Sin ()

3) радиус вписанной окружности равен произведению радиуса описанной окружности на косинус угла (Cos), равному числу от деления 180° на n - количество сторон правильного многоугольника

r = R • Cos ()

Доказательство:

1) Соединив точку O с вершинами правильного многоугольника, получаем треугольники Δ A1A2O = Δ A2A3O = … = Δ A1AnO, где количество всех треугольников в многоугольнике = n.

Площадь треугольника

S (Δ A1A2O) = • A1A2 • OH1 = • an • r.

Тогда площадь многоугольника равна сумме площадей всех треугольников

Sn = S (Δ A1A2O) • n = • an • r • n = (• an • n) • r = Pn • r

***

 

2)

Т.к. угол в многоугольнике находится по формуле

αn = • 180°, то угол A1 в треугольнике A1H1O есть половина угла многоугольника.

A1 = •(• 180°) = • 90° = = 90° -

Cos A1 = =

Тогда A1H1 = Cos A1 • R = Cos (90° - ) • R = R • Sin()

Зная, что an = A1H1 • 2, получаем

an = 2R • Sin ()

***

Примеры:

Если n=3, то a3 = 2R • = R•

Если n=4 (квадрат), то a4 = 2R • Sin45° = 2R • = R•

Если n=6 (правильный шестиугольник), то a6 = 2R • 0,5 = R

***

3)

Sin A1 =

Тогда r = R • Sin A1 = R • (90° - ) = R • Cos ()

***

 

Задача 118.

Дано:

Правильный четырехугольник – квадрат

 

 

R

r

a4

P

S

1

-

-

6

-

-

2

-

2

-

-

-

3

-

-

-

-

16

 

Определить: чему равны радиусы вписанной и описанной окружности, стороны, периметр и площадь правильного многоугольника – квадрата

R, r, a4, P, S = ?

Решение:

1) Если сторона квадрата a4 = 6 и т.к. дан квадрат, то

периметр квадрата P = 4 • a4 = 4 • 6 = 24

Площадь квадрата S = a42 = 62 = 36

Т.к. площадь квадрата можно найти по формуле S4 = P4 • r, то радиус вписанной окружности

r = = = 3

Т.к. количество сторон n=4, то a4 = R•

Радиус описанной окружности R== ==

 

2) Если r=2, то радиус описанной окружности

r = R • Cos () = R • Cos 45° = R •

R = 2 • = 2

Т.к. количество сторон n=4, то сторона квадрата

a4 = R•= 2= 4

Тогда периметр квадрата P = 4 • a4 = 4 • 4 = 16

Площадь квадрата S = a42 = 42 = 16

 

3) Если площадь квадрата S = 16, то сторона квадрата

a42 = 16 a4 = ±. Но a4 = - не удовлетворяет условию задачи.

Значит, a4 = = 4

Тогда периметр квадрата P = 4 • a4 = 4 • 4 = 16

Т.к. количество сторон n=4, то радиус описанной окружности

a4 = R• 4 = R• R = = 2

Тогда радиус вписанной окружности

r = R • Cos () = R • Cos 45° = 2= 2

***

 

Задача 119.

Дано:

Δ ABC - равносторонний,

периметр треугольника

PΔ = 18 см

 

Найти: сторону квадрата, вписанного в ту же окружность

a4 = ?

Решение:

Т.к. Pn = n • an , то сторона треугольника

18 = 3 • a3 a3 = 6

Тогда радиус описанной окружности

a3 = R• R = = 2

Тогда сторона квадрата a4 = • R = • 2= 2

Ответ: 2.

***

 

Задача 120.

Дано:

ABCD - квадрат,

сторона квадрата a4 = 6

 

Вычислить: чему равен удвоенный радиус вписанной окружности 2r = ?

Решение:

Т.к. площадь квадрата можно найти по формуле S4 = P4 • r, то радиус вписанной окружности

r = = = 3 (см)

Значит, 2r = 2 • 3 = 6 (см).

Ответ: 6 см.

***

 

Задача 121.

Дано:

квадрат, правильный шестиугольник вписаны около одной окружности (O;r) с центром в точке О и радиусом r ;

периметр шестиугольника P6 = 48 см

 

Найти: периметр квадрата P4 = ?

Решение:

Т.к. формула периметра шестиугольника P6 = 6 • a6 , то сторона шестиугольника a6 = 48 : 6 = 8 (см)

Т.к. дан правильный шестиугольник при n=6, то

a6 = 2R • 0,5 = R

Т.к. дана одна окружность, то радиусы описанной окружности равны, т.е. R4 = R6 = 8 см

Тогда сторона квадрата a4 = R•= 8см

Следовательно, периметр квадрата P4 = 4 • 8= 32(см)

Ответ: P4 = 32см.

***

 

Задача 122.

Дано:

ABCDEF - правильный шестиугольник

BF = 1,5 см

 

Найти: площадь шестиугольника

SABCDEF = ?

Решение:

Проведем диагональ AD и рассмотрим равнобедренный треугольник ΔABF.

По свойству равнобедренного треугольника AO - медиана.

Значит, FO = OB = BF : 2 = 1,5 : 2 = 0,75 (см)

 

Т.к. шестиугольник правильный, то используя формулу для вычисления углов правильного многоугольника

αn = • 180°, получаем

α6 = • 180° = 120°

Тогда угол BAO = 60°

Рассмотрим треугольник ΔAOB, где угол O = 90°.

Sin 60° = = AB = = (см)

Тогда периметр шестиугольника

P6 = 6 • = 3(см)

Тогда радиус вписанной окружности

r6 = OF = см

Следовательно, площадь шестиугольника

S6 = • P6 • r6 = = (см2)

Ответ: SABCDEF = см2.

***

 

Задача 123.

Дано:

A1A2A3A4A5A6 - правильный шестиугольник, вписанный в окружность (O; R)

B1B2B3B4B5B6 - правильный шестиугольник, описанный около окружности (O; R)

OH = r

OH1 = R

 

Найти: пропорцию площадей шестиугольников

= ?

Решение:

1)

Рассмотрим шестиугольник A1A2A3A4A5A6

Стороны шестиугольника равны радиусы описанной окружности A1A2 = A2A3 = A6A1 = R

Зная, что S (A1A2A3A4A5A6) = P • r = 6Rr = 3R•r

Рассмотрим треугольник ΔOHA6 - прямоугольный, т.к. радиус вписанной окружности перпендикулярен к стороне шестиугольника r A1A6

Т.к. точка O - точка пересечения биссектрис, то R - биссектриса угла A1A6A5

Зная, что OA6A1 = 60°, получаем

Sin 60° = r = Sin 60° • R =

Значит, площадь шестиугольника

S (A1A2A3A4A5A6) = 3R •=R2

2)

Рассмотрим шестиугольник B1B2B3B4B5B6

B1B2 = … = B6B1 = OB5 , где OB5 - радиус описанной окружности около данного правильного многоугольника, а именно шестиугольника B1B2B3B4B5B6

S (B1B2B3B4B5B6) = • (6 • OB5) • R

Рассмотрим ΔH1OB5 - прямоугольный, т.к. R - вписанной окружности в многоугольник B1B2B3B4B5B6:

R B5B6

Тогда OB5H1= 60°. Поэтому

Sin 60° = OB5 = 2R

Тогда площадь шестиугольника B1B2B3B4B5B6

S (B1B2B3B4B5B6) = • 6 • 2R • R = 2R2

 

Тогда пропорция площадей шестиугольников

= 2R2 =

Ответ:

***