Образовательные технологии » Учебники » Геометрия 9 класс »

Простейшие задачи в координатах

Теоретический урок по предмету математики для решения простейших задач в координатах.

На данной онлайн странице представлены следующие готовые домашние задания, гдз по геометрии из решебника за 9 класс:

– в начале этого урока представлены задачи 23 - 27, которые показывают примеры решений и ответы по теме "Формула для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца";
– в заданиях 28 - 33 рассмотрено, как решать геометрию, если нужно определить координаты середины отрезка, длину вектора по координатам;
– решения задач в координатах объясняются в контрольных с номерами 34 - 38 данной тетради-задачника;
– тема "Точки, треугольники, четырехугольники в координатах" представлена в работах 39 - 42 учебника;
– в примерах задач 43 - 47 рабочей тетради показывается, как находить различные решения по теме "Уравнение окружности";
– вопрос, как вычислить и написать параметрическое уравнение прямой, рассматривается в тестах 48 - 53.

Простейшие задачи в координатах

Определение:

Радиус-вектор произвольной точки М – это вектор, проведенный из начала координат в точку М.

Теорема:

Координаты любой точки плоскости равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Дано:

M(x;y) – точка

– радиус-вектор точки М

Доказать: {x; y}

Доказательство:

1 случай (рис.1). Если x>0

По правилу параллелограмма , где х=OM₁

= OM₁ = x

= OM₂ = y

Значит,

Поэтому {x; y}

2 случай. Если x<0

Формула для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Теорема:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Дано:

– произвольный вектор

A (a₁;a₂) - координаты начала вектора AB

B (b₁;b₂) - координаты конца вектора AB

Доказать: {b₁– a₁; b₂– a₂}

Доказательство:

По правилу треугольника вектор ==

= {b₁– a₁; b₂– a₂}, где {b₁;b₂} и {a₁;a₂}, т.к. они радиус вектора.

***

Задача 23.

Дано:

ΔABC – равнобедренный треугольник

AB=2a, CO=h

Найти: координаты точки А, точки B и точки C

Решение:

Ответ: M(3;–3), Q(–3;–3), N(3;3) и

M(3;–3), N(–3;–3), Q(3;3)

***

Формула, как найти координаты середины отрезка

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его конца и начала.

Задача 28.

Дано:

Отрезок AB, A(x₁; y₁), B(x₂; y₂)

CAB, AC=CB

Доказать: C

Доказательство:

Т.к. вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O (см. Задача 4), то

Т.к. и являются радиус-векторами точек A и B, то {x₁; y₁} и {x₂; y₂}.

Тогда

C, т.к. – радиус вектора точки C.

Формула, как найти координаты середины отрезка

Пример 1.

Дано:

точки A и B – концы отрезка AB, точка M – середина отрезка AB

а) Если даны координаты точек A(2; –3); B(–3; 1), то как найти координаты середины отрезка AB

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M MM

б) Если даны координаты точек B(4; 7); M(–3; –2), то как найти координаты точки A(x;y).

–6 = 4+x –4 = 7+y

x= –10 y= –11

Ответ: M; A (– 10; – 11)

***

Задача 29. Длина вектора по координатам

Дано: координаты вектора

{a₁; a₂}

Доказать: Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат

Доказательство:

От точки О (0;0) отложим вектор =

Но есть радиус-вектор точки А. Тогда A(a₁; a₂)

Из треугольника ΔOAA₁ по теореме Пифагора:

a₁=OA₁; a₂=OA₂=AA₁

OA²=

OA=

Формула, как найти длину вектора по координатам вектора

Пример 2.

{11;–11}, то =

{10;0}, то = 10

Задача 30.

Дано: координаты точки

M₁(x₁; y₁), M₂(x₂; y₂)

Найти: расстояние между двумя точками

d= M₁M₂ = ?

Решение:

Ответ: AM =

***

Задача 35.

Дано:

OACB – параллелограмм

Длина стороны OA=a

Координаты точки B (b;c)

Найти: координаты точки C(x;y),

длину сторон AC, CO – ?

Решение:

Ответ: C (a+b;c) ; AC=; CO =

***

Задача 36.

Дано:

система координат,

треугольник ,

координаты концов треугольника A(0;1), B(1;–4), C(5;2)

1) Доказать: треугольник ΔABC - равнобедренный

Доказательство:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

AC===

AB===

Т.к. AC=AB=, то треугольник ΔABC – равнобедренный.

2) Найти: S_Δ_ABC площадь треугольника ΔABC – ?

Решение:

Ответ: S_Δ_ABC =13.

***

Задача 37.

Дано:

система координат,

треугольник ΔMNP,

координаты вершин треугольника

M(4;0), N(12;–2), P(5;–9)

Найти: периметр треугольника P_Δ_MNP – ?

Решение:

Ответ: P_Δ_MNP =++

***

Задача 38.

Дано:

MNPQ – четырехугольник

координаты вершин четырехугольника

M(1;1), N(6;1), P(7;4), Q(2;4)

1) Доказать: MNPQ – параллелограмм

Доказательство:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

MN=== 5

PQ === 5

NP ===

QM ===

Т.к. MN=PQ=5 и NP=QM=, то MNPQ – параллелограмм

2) Найти: длину MP, NQ – ?

Решение:

Ответ: MP= 3, NQ = 5

***

Точки, треугольники, четырехугольники в координатах

Задача 39.

Дано:

координаты точек C(4;–3), D(8;1)

точка А лежит на оси ординат O_y

AC=AD

Найти: координаты точки A – ?

Решение:

Ответ: A (0; 5).

***

Задача 40.

Дано:

O(0;0)

ΔABC – равнобедренный

Медиана OC=160см

Основание AB=80см

Найти: AK; NB

Решение:

Ответ: AK = NB = 100 см

***

Задача 41.

Дано:

Треугольник ΔABC

Прямой угол C = 90°

Точка M лежит на стороне AB

Точка M – середина стороны AB

BC=a, AC=b

Доказать: длина высоты в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы.

Доказательство:

Т.к. BC=a, AC=b, то

точка C (0;0) – т.к. точка C – начало координат

Тогда B(a;0), A(0;b).

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M MM(;), т.к. точка M – середина AB.

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

MC== =

AM==

Следовательно, AM=MB=MC.

***

Задача 42.

Дано:

ABCD – параллелограмм

AD=BC=a

координаты точек

B(b;c), D(a;0), C(a+b;c)

Доказать:

Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов отрезков, соединяющих противоположные вершины параллелограмма.

AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

Доказательство:

используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

AB= AB² = b²+c²

AD=AD² = a²

AC=AC² = (a+b)² + c²

BD=AC² = (a–b)² + c²

Т.к. AB=CD, AD=BC, тогда

AB² + AD² + BC² + CD² = 2(AB² + AD²) = 2(b²+c² + a²)

AC² + BD² = (a+b)² + c² + (a–b)² + c² = a² + 2ab + b² + c² + a² – 2ab + b² + c² = 2(a² + b² + c²)

Т.е. AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

***

Уравнение линии и уравнение окружности

Определение: Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема - формула уравнения окружности или уравнения радиуса окружности:

В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром в точке C(x₀; y₀) и радиуса – r имеет вид

(x – x₀)² + (y – y₀)² = r ²

Дано:

Окружность (C;r) с центром в точке C,

координаты точки C(x₀; y₀)

Доказать: уравнение окружности (x – x₀)² + (y – y₀)² = r ²

Доказательство:

Возьмем точку M(x;y), лежащей на окружности (C;r)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

CM=, но CM=r

Тогда CM² = r²

r² = (x – x₀)² + (y – y₀)² (1)

Координаты точки M удовлетворяют уравнению (1).

Если N(x₁;y₁) не лежит на окружности (C;r), тогда

Т.к. NC ≠ r , то координаты точки N не удовлетворяют уравнению (1).

Значит, уравнение окружности (x – x₀)² + (y – y₀)² = r ²

Если центр окружности – точка C имеет координаты C(x₀; y₀) = O(0;0) уравнение окружности x² + y² = r ²

***

Задача 43.

Дано: уравнение окружности с центром в точке A, проходящей через 2 точки

а) x² + y² = 9

б) (x – 1)² + (y + 2)² = 4

в) (x + 5)² + (y – 3)² = 25

г) (x – 1)² + y² = 4

д) x² + (y + 2)² = 2

Найти: центр окружности и ее радиус r

Решение:

Ответ: (x – 2)² + (y – 1)² = 41

***

Задача 47.

Дано:

Окружность (C;r), где координаты центра окружности C(0;y)

Точки A и B лежат на окружности

Координаты точек A(–3;0), B(0;9)

Написать: уравнение окружности с центром в точке C, проходящей через 2 точки

Решение:

Ответ: x² + (y – 4)² = 25

***

Уравнение прямой

График уравнения прямой линии, проходящей через точку. Виды уравнений прямой.



1) Формула уравнения прямой l: ax + by + c = 0, где a,b,c – коэффициенты уравнения прямой
2) l₁: y = y₀ – уравнение прямой, проходящей через точку M₀, перпендикулярной прямой y, оси ординат O_y, параллельно прямой x, оси абсцисс O_x
3) *l₂:* x = x₀ – уравнение прямой, проходящей через точку M₀, параллельной прямой оси ординат O_y, перпендикулярно оси абсцисс O_x
4) y = 0 уравнение прямой, оси абсцисс O_x, проходящей через начало координат 5) x = 0 уравнение оси ординат O_y, которая проходит через точку начала координат

Задача 48.

Составить: уравнение прямой, проходящей через 1 точку – центр окружности.

а) (x +3)² + (y – 2)² = 25, параллельно оси O_y

б) (x –2)² + (y +5)² = 3, параллельно оси O_x

Решение:

Ответ: A(3; –2)

***

Задача 50.

Дано: координаты двух точек A(1;–1), B(–3;2)

Найдите: уравнение прямой AB по точкам

Решение:

Ответ: уравнение прямой по двум данным точкам 3x+4y+1=0

***

Задача 51.

Дано: координаты двух точек C(2;5), D(5;2)

Составьте: уравнение прямой AB, проходящей через 2 заданные точки

Решение:

Ответ: по указанным двум точкам следует задать уравнение прямой AB x+y–7=0

***

Задача 52.

Дано:

прямая AB задается уравнением 3x–4y+12=0

Найти: координаты двух точек A и B – точки пересечения с осями координат

Решение:

Ответ: A(–4;0), B(0;3)

***

Задача 53.

Дано:

Треугольник ΔABC

Координаты вершин треугольника A(4;6), B(–4;0), C(–1;–4)

Точка M лежит на отрезке AB

Запишите: по координатам точек уравнение прямой линии, содержащей медиану MC

Решение:

Ответ: линейное уравнение прямой MC: 7x–y+3=0

***