На данной онлайн странице электронного справочника по математике для школьников представлены следующие готовые домашние задания, решения тестовых заданий по геометрии 9 класса:
Автобус едет из города Анск в город Бинск. На карте город Анск обозначим латинской буквой A, город Бинск – буквой B латинского алфавита.
Соединив точки A и B, получаем отрезок AB. При этом точка A – начало отрезка или пункт отправления автобуса, т.е. откуда едет автобус, точка B – конец отрезка или пункт назначения автобуса, куда движется автобус.
Отрезок AB изображает схему маршрута автобуса.
Направление движения автобуса, или направление маршрута, или направление отрезка AB обозначим стрелкой –>.
Выражение «A –> B» обозначает схематичное движение автобуса из пункта A в пункт B.
Отрезок со стрелкой – направленный отрезок.
Определение:
Вектор – направленный отрезок.
В математике принято обозначать вектор как
Часто вектор могут обозначать маленькой буквой
Когда A – начальная точка отрезка и B – конечная точка отрезка совпадают, то есть когда отрезок отсутствует, тогда вектор считается нулевым и обозначается как
Длина отрезка AB, расстояние между городом Анск и Бинск, – абсолютная величина вектора , или модуль вектора
Модуль вектора обозначается как
Например, дано
Длина нулевого вектора обозначается как
Величина может быть скалярной или векторной.
Величина является скалярной, если содержит численное значение, но не указывает на направление. Например, 5 книг, 10 метров ткани, где цифры «5», «10» – скалярные величины.
Векторная величина или вектор – величина, которая содержит количественное значение и указывает на направление.
Например, автобус едет или совершает перемещение из пункт A в пункт B со скоростью 30 км/ч.
Цифра «30» – скорость автобуса в км/ч – пример векторной величины, так как дано численное значение и указывается направление движения.
Перемещение точки, которая движется в данный момент времени, – вектор с начальной точкой в точке старта движения и с конечной точкой в точке, где данная точка находится в это время.
Например, AB = 5 км, BC = 5 км, CD = 3 км, DE = 2 км, AE = 4 км.
Длина маршрута движения автобуса из пункта A в пункт E составляет
L = AB + BC + CD + DE = 15 км.
Длина маршрута – скалярная величина, так как дано только количество километров – «15» без указания на направление движения.
Перемещение – вектор
AE = 4 км. Перемещение – векторная величина, где число «4» – количество километров, АЕ – указывает на направление движения, из пункта Анск в пункт Eнск.
Допустим, автобус проехал 30 км: в одну сторону, из Анска в Енск – 15 км, а также обратно, из Енска в Анск – 15 км. В этом примере перемещение равно 0 км и является нулевым вектором.
Лемма – теорема, вспомогательная для доказательства следующей теоремы.
Лемма о коллинеарных векторах:
Если векторы
Дано: вектор a, вектор b
Векторы
Доказать: есть такое число k, что верно равенство
Доказательство:
Значит,
***
2 случай.
Пусть a, b - противоположные векторы, т.е.
Возьмем
Следовательно,
***
Дано:
вектор m, вектор n
1)
2)
Найти: k – ?
Решение: 1) Т.к.
Ответ: k = – 4.
Решение: 2) Т.к.
Ответ: k = 20.
***
ABCD – параллелограмм
BD
M – середина отрезка AO
1)
2)
Найти: k – ?
Решение:
1) Т.к.
По свойству параллелограмма
Ответ: k=
2) Т.к.
Тогда AM=MO=ON=NC
Т.к. k<0, то
Ответ: k=
***
Дано:
1)
2)
Найти: k – ?
Решение: 1) Т.к.
Ответ: k = –1.
Решение: 2) Т.к.
Ответ: k = 5.
***
Решить уравнение: найти значения x, y.
Решение: 1)
y=3
Ответ: x=0, y=3
***
Решить уравнение: найти значения x, y.
Решение: 2)
–3y = –1 , x= –1
y =
Ответ: x= – 1, y=
***
Определение: Если
Решение:
а) По правилу параллелограмма
б)
в)
г) Т.к.
***
Дано: ABCD – параллелограмм
M
Найти:
Решение:
По правилу параллелограмма
Но
Ответ:
***
Дано: векторы
а)
б)
Найти: коэффициенты разложения x, y – ?
Решение:
а)
3 – y = 0, x+1=0
б)
4 – x = 0, 5+y=0
Ответ: a) x= –1, y= 3 б) x = 4, y= –5
***
Дано: ABCD – трапеция
EF – средняя линия трапеции
Доказать: EF
- т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме основанию трапеции.
Доказательство:
По правилу многоугольника
+
Сложив оба выражения, получаем
Т.к. E и F – середины сторон AB и CD, тогда
Т.к.
Поэтому EF || AD и
Теорема: Любой вектор
Дано:
вектор a, вектор b
Доказать:
Доказательство:
Через точку А и точку В проведем прямые, параллельные прямым, содержащих векторы
Тогда по правилу треугольника
Заметим, что векторы
По лемме о коллинеарных векторах
Тогда
Единственность разложения
Доказательство:
Знаем, что
Пусть есть
В результате разности выражений (1) и (2) получаем
Это равенство возможно
Т.е
***
Определение: Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
i и j – координатные векторы
Т.к.
Т.е.
Если
то
***
Найти координаты векторов.
Решение:
***
Найти координаты векторов.
Решение:
***
Найти сумму вектора по его координатам.
Решение:
***
Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число.
1. Суммой векторов
Дано:
Доказать:
- сумма координат вектора, т.е. формула, как найти координаты вектора через сложение
Доказательство:
***
Пример 1 - сложение векторов, как найти координаты векторов:
Если даны координаты векторов
2. Разностью векторов
3. Произведением вектора
Дано:
k – произвольное число
Доказать:
- умножение вектора на число
Доказательство:
Значит, вектор
Пример 2 - как находить координаты вектора:
Найти координаты вектора
Решение:
Ответ:
***
Найти координаты вектора
Решение:
= {–21;–14}
Ответ:
***
Дано:
1)
2)
Найти: коэффициенты разложения x, y – ?
Решение:
1)
По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:
x=–3, y=7
2)
По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам:
x= –4, y=0
***
Дано: координаты векторов
1)
2)
Найти: разность векторов
Решение:
1)
2)
***
Дано: координаты векторов
Найти: координаты векторов, противоположных данным.
Решение:
***
Дано:
Четырехугольник ABCD
M, N, K, E – середины сторон AB, BC, DC, AD
Доказать:
Четырехугольник MNKE – параллелограмм
Доказательство:
Соединим точку А и точку С.
Получим треугольник Δ ABC, где MN – средняя линия треугольника Δ ABC и треугольник Δ ADC, где EK – средняя линия треугольника Δ ADC.
По свойству средней линии треугольника Δ следует, что
MN || AC – параллельны и MN=
EK || AC – параллельны и EK=
Тогда MN || EK – параллельны и MN=EK, поэтому
MNKE – параллелограмм (по первому признаку параллелограмма).
Дано:
Треугольник Δ ABC
Сторона треугольника AB = 8,5 см
Сторона треугольника AC = 5 см
Высота AH = 4 см, т.е отрезок AH перпендикулярен стороне BC
H
Найти:
Площадь треугольника S ΔABC – ?
Решение:
S ΔABC =
По теореме Пифагора
BH =
По теореме Пифагора
CH =
BC = BH + CH = 3 +7,5 = 10,5 см
S ΔABC =
Ответ: S ΔABC = 21
***
Дано:
ABCD – равнобедренная трапеция
Доказать: NE
Доказательство:
Проведем перпендикуляры BH и CH1, то есть BH
Но BH и CH1 проходят через NE
Стороны BH = CH1 равны
Поэтому BH = KM = CH1 равны
Следовательно углы равны
Тогда
***
Дано:
AB – отрезок
AC = CB
O – произвольная точка
Доказать:
Вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O
+
Сложив выражения (1) и (2), получаем
***
Дано:
векторы a, b, c
Три вектора
Суммы и разности векторов.
Построение:
По правилу многоугольника
a)
б)
=
Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.
Дано:
четырехугольник ABCD – равнобедренная трапеция
Доказать: EF
Доказательство:
Проведем параллельные прямые
MK || AB
MR || CD
Получим равнобедренный треугольник ΔMKR
AB=MK, так как трапеция равнобедренная,
CD=MR, т.к. трапеция равнобедренная.
Следовательно, EF – средняя линия треугольника ΔMKR, поэтому
MH=HR и OK=MO.
BM=MC=AK=RD, т.к. ABMK и MCDR – параллелограммы.
Поэтому HR=KO.
Тогда MN – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ΔMKR.
Т.к. MN – высота, то отрезки MN
По свойству средней линии треугольника Δ следует, что
EF || KR.
Тогда EF
***
Доказать, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на медиане, проведенной к основанию.
Дано:
вписанная окружность в равнобедренном треугольнике
ΔABC – равнобедренный треугольник
BH2 – медиана
Доказать: O
Доказательство:
Проведем перпендикуляры OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.
Здесь из двух точек проведен один и тот же перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.
Следовательно, что O
***
Доказать, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию или на ее продолжение.
Описанная окружность около равнобедренного треугольника
Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник
BH3 – медиана
Доказать: O
Доказательство:
Проведем из центра окружности перпендикуляры
OH1 ; OH2 ; OH3 к сторонам BC, AC, AB.
Здесь проведен из двух точек перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.
Следовательно, что O
***