Образовательные технологии » Учебники » Геометрия 9 класс »

Векторы

На данной онлайн странице электронного справочника по математике для школьников представлены следующие готовые домашние задания, решения тестовых заданий по геометрии 9 класса:

– представлены определения вектора, скалярных и векторных величин;
– в примерах с номерами 9 - 12 рассматривается, как решать геометрию по теме "Коллинеарные векторы";
– решения векторов представлены в теме "Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам". Контрольные работы 13 - 15;
– тема "Координаты вектора" объясняется в работах 16 - 22 учебника. В данной рабочей тетради показываются ответы к вопросам, как решать задачи, если требуется найти координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число;
– задачи 1 - 8 показывают примеры решений и ответы по математике, изученных на материале курса геометрии 8 класса. Здесь рассматриваются тесты и задания по таким разделам, как средняя линия треугольника, параллелограмм, площадь треугольника, равнобедренная трапеция, вписанные и описанные окружности.

Понятие вектора

Автобус едет из города Анск в город Бинск. На карте город Анск обозначим латинской буквой A, город Бинск – буквой B латинского алфавита.

Соединив точки A и B, получаем отрезок AB. При этом точка A – начало отрезка или пункт отправления автобуса, т.е. откуда едет автобус, точка B – конец отрезка или пункт назначения автобуса, куда движется автобус.

Отрезок AB изображает схему маршрута автобуса.

Направление движения автобуса, или направление маршрута, или направление отрезка AB обозначим стрелкой –>.

Выражение «A –> B» обозначает схематичное движение автобуса из пункта A в пункт B.

Отрезок со стрелкой – направленный отрезок.

Определение:
Вектор – направленный отрезок.

В математике принято обозначать вектор как , две латинские буквы со одной стрелкой сверху (произносится: вектор а-б.).
указывает на направление движения: A – начальная точка отрезка, B – конечная точка отрезка.
Часто вектор могут обозначать маленькой буквой (произносится: вектор а).

Когда A – начальная точка отрезка и B – конечная точка отрезка совпадают, то есть когда отрезок отсутствует, тогда вектор считается нулевым и обозначается как
, ноль со одной стрелкой сверху. Любая точка на карте, в тетради, на плоскости чертежной доски – нулевой вектор.

Длина отрезка AB, расстояние между городом Анск и Бинск, – абсолютная величина вектора , или модуль вектора
, или длина вектора .
Модуль вектора обозначается как .
Например, дано = 1,7 км,
= 6 км. В этом случае говорят, что длина вектора а равна 1,7 км (одна целая семь десятых километра), длина вектора AB равна шести километрам.
Длина нулевого вектора обозначается как
и равна нулю:
= 0.

Скалярные и векторные величины

Величина может быть скалярной или векторной.

Величина является скалярной, если содержит численное значение, но не указывает на направление. Скалярными величинами являются параметры вместе с единицами измерения (например, длина 10 метров, высота 5 м).

Векторная величина или вектор – величина, которая содержит количественное значение и указывает на направление. То есть вектор - это направленный отрезок, который характеризуется длиной (модулем) и направлением. Например, если на плоскости заданы две точки A и B, то отрезок, у которого точка A является началом, а точка B — концом, образует вектор. Вектор задается направленной парой точек: с началом в одной точке и концом в другой.

Перемещение точки, которая движется в данный момент времени, – вектор с начальной точкой в точке старта движения и с конечной точкой в точке, где данная точка находится в это время.

Например, AB = 5 км, BC = 5 км, CD = 3 км, DE = 2 км, AE = 4 км.

Длина маршрута движения автобуса из пункта A в пункт E составляет
L = AB + BC + CD + DE = 15 км.
Длина маршрута – скалярная величина, так как дано только количество километров – «15» без указания на направление движения.

Перемещение – вектор
, который соединяет A – точку начала движения автобуса, E – точку остановки движения.
AE = 4 км. Перемещение – векторная величина, где число «4» – количество километров, АЕ – указывает на направление движения, из пункта Анск в пункт Eнск.

Допустим, автобус проехал 30 км: в одну сторону, из Анска в Енск – 15 км, а также обратно, из Енска в Анск – 15 км. В этом примере перемещение равно 0 км и является нулевым вектором.

Коллинеарные векторы

Лемма – теорема, вспомогательная для доказательства следующей теоремы.

Лемма о коллинеарных векторах:

Если векторы и коллинеарны (где ), то можно найти такое число k, что верно равенство (вектор равен произведению числа k на вектор )

Дано: вектор a, вектор b

Векторы и – коллинеарные, т.е. вектор b коллинеарен вектору a

Доказать: есть такое число k, что верно равенство

Доказательство:

1 случай.Пусть векторы a и b - сонаправленные векторы, т.е.

, где k>0,т.к. . Тогда и сонаправленные векторы.

Значит,

***

2 случай.

Пусть a, b - противоположные векторы, т.е.

Возьмем , где k<0

Следовательно,

***

Задача 9.

Дано:

вектор m, вектор n

1) – противоположно направленные векторы ,

= 0,5 см, = 2 см

2) – сонаправленные векторы ,

= 12 см, = 240 см

Найти: k – ?

Решение:

Ответ: k = – 4.

Решение:

Ответ: k = 20.

***

Задача 10.

Дано:

ABCD – параллелограмм

BD AC = O

M – середина отрезка AO

Найти: k – ?

Решение:

Ответ: k=

2) Т.к. , то k<0. , – коллинеарные, т.к. лежат на одной прямой. Найдем середину OC и обозначим ее точкой N.

Тогда AM=MO=ON=NC

Т.к. k<0, то

Ответ: k=

***

Задача 11.

Дано:

1) – противоположно направленные векторы,

= 400 мм, = 4дм = 400мм

2) – сонаправленные векторы , = , =

Найти: k – ?

Решение:

Ответ: k = –1.

Решение:

Ответ: k = 5.

***

Задача 12.

Решить уравнение: найти значения x, y.

Решение:

Ответ: x=0, y=3

***

Решить уравнение: найти значения x, y.

Решение:

Ответ: x= – 1, y=

***

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Определение: Если , где и – данные векторы, x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен на векторы и , причем x и y – коэффициенты разложения

Выразить вектор:

через векторы и

через и

Решение:

Ответ:

***

Задача 14.

Дано: векторы и – неколлинеарные

а)

б)

Найти: коэффициенты разложения x, y – ?

Решение:

Ответ: a) x= –1, y= 3 б) x = 4, y= –5

***

Задача 15.

Дано: ABCD – трапеция

EF – средняя линия трапеции

Доказать: EFAD - т.е. средняя линия трапеции параллельна её основанию,

- т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме основанию трапеции.

Доказательство:

По правилу многоугольника

Сложив оба выражения, получаем

Т.к. E и F – середины сторон AB и CD, тогда

Т.к. , то , а

Поэтому EF || AD и

***

Теорема: Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Дано:

вектор a, вектор b

и – неколлинеарные векторы

Доказать:

Доказательство:

Через точку А и точку В проведем прямые, параллельные прямым, содержащих векторы и . Найдем точку С.

Тогда по правилу треугольника

Заметим, что векторы и – коллинеарные, также векторы и – коллинеарные

По лемме о коллинеарных векторах

Тогда

Единственность разложения

Доказательство:

Знаем, что (1)

Пусть есть (2)

В результате разности выражений (1) и (2) получаем

Это равенство возможно

;

Т.е ;

***

Координаты вектора

Определение: Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

i и j – координатные векторы

Т.к. и – неколлинеарные векторы, то любой вектор можно разложить через векторы и .

Т.е. , где x и y – координаты вектора.

{1:2}

{2:–3}

{0;0}

Если и ,

то , если и

***

Задача 16.

Найти координаты векторов.

Решение:

Ответ: {0;6}

***

Задача 19.

Найти координаты вектора , если даны векторы

{–7;–1}; {–1;7}; {4;–6}

Решение:

Ответ: {–21;–14}

***

Задача 20.

Дано:

Найти: коэффициенты разложения x, y – ?

Решение:

Ответ: S _Δ_ABC = 21

***

Задача 3.

Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

Доказать: NE KM =

Доказательство:

Проведем перпендикуляры BH и CH₁, то есть BHAD перпендикулярны; также CH₁AD перпендикулярны.

Но BH и CH₁проходят через NE тогда перпендикулярны BRNE и CR₁NE.

Стороны BH = CH₁равны параллельны BH || CH₁

Поэтому BH = KM = CH₁равны параллельны BH KM CH₁ как отрезок, заключенный между параллельными прямыми.

Следовательно углы равны KON = NR₁C = 90° как соответственные.

ТогдаKON = EOM = 90°, как вертикальные.

***

Задача 4.

Дано:

AB – отрезок

AC = CB

O – произвольная точка

Доказать:

Вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O

Доказательство: По правилу треугольника

(1)

(2)

Сложив выражения (1) и (2), получаем

***

Задача 5.

Дано:

векторы a, b, c

Три вектора и – неколлинеарные векторы.

Построить:

Суммы и разности векторов.

Построение:

По правилу многоугольника

б)

***

Задача 6.

Дано:

четырехугольник ABCD – равнобедренная трапеция

Доказать: EF NM = , т.е. угол пересечения двух отрезков в равнобедренной трапеции равен 90°.

Доказательство:

Проведем параллельные прямые

MK || AB

MR || CD

Получим равнобедренный треугольник ΔMKR

AB=MK, так как трапеция равнобедренная,

CD=MR, т.к. трапеция равнобедренная.

Следовательно, EF – средняя линия треугольника ΔMKR, поэтому

MH=HR и OK=MO.

BM=MC=AK=RD, т.к. ABMK и MCDR – параллелограммы.

Поэтому HR=KO.

Тогда MN – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ΔMKR.

Т.к. MN – высота, то отрезки MNAD – перпендикулярны.

По свойству средней линии треугольника Δ следует, что

EF || KR.

Тогда EF NM =

***

Задача 7.

Доказать, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на медиане, проведенной к основанию.

Дано:

вписанная окружность в равнобедренном треугольнике

ΔABC – равнобедренный треугольник

BH₂– медиана

Доказать: O BH₂, т.е. центр вписанной окружности лежит на медиане равнобедренного треугольника

Доказательство:

Проведем перпендикуляры OH₁; OH₂; OH₃к сторонам BC, AC, AB.

Здесь из двух точек проведен один и тот же перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.

Следовательно, что O BH₂

***

Задача 8.

Доказать, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию или на ее продолжение.

Дано:

Описанная окружность около равнобедренного треугольника

Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник

BH₃– медиана

Доказать: O BH₃

Доказательство:

Проведем из центра окружности перпендикуляры

OH₁; OH₂; OH₃к сторонам BC, AC, AB.

Здесь проведен из двух точек перпендикуляр к стороне AC, но в треугольнике можно провести только один перпендикуляр к стороне и только из одной точки.

Следовательно, что O BH₃

***