Параллельный перенос, поворот плоскости и подобные треугольники

Параллельный перенос

Определение:

Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M₁, что два вектора равны

=

***

 

Задача 145.

Дано:

вектор

отрезок AB

Построить:

AB → A₁B₁

A → A₁ : =

B → B₁ : =

***

 

Теорема:

При параллельном переносе на вектор сохраняется расстояние между точками, т.е. параллельный перенос – движение.

 

Дано:

f – параллельный перенос на вектор

M M₁

NN₁

 

Доказать:

f – движение (MN = M₁N₁)

Доказательство:

Точка M переводится движением в точку M₁ с условием, что два вектора равны: M M₁: = MM₁

Точка N переводится движением в точку N₁ с условием, что два вектора равны: NN₁: = NN₁

Следовательно, полученные отрезки параллельны MM₁ || NN₁ и построенные отрезки равны MM₁ = NN₁

Значит, четырехугольник MM₁N₁N – параллелограмм.

Поэтому MN = M₁N₁, значит f – движение.

***

Задача 146.

a)

Треугольник ΔABC

A A₁:

=

 

B B₁:

=

 

C C₁:

=

 

б)

Треугольник ΔABC

A A₁: =

 

B B₁:

=

 

C C₁:

=

***

 

Задача 147.

Дано:

треугольник ΔABC

AB = BC

точка D лежит на AC: DAC

точка C лежит на AD: CAD

BC B₁D

 

а) Построить: B₁D

б) Доказать: ABB₁D – равнобедренная трапеция

 

а)

Построение:

1) От точки B проведем прямую a, параллельную вектору : a ||

2) Точка B переводится движением в точку B₁

=

3) Проведем прямую B₁D, параллельную отрезку BC:

B₁D || BC

***

 

б)

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник BB₁DC.

Т.к. основания BB₁ || CD и боковые стороны BC || BD параллельны, то BB₁DC – параллелограмм (по определению)

По свойству параллелограмма:

основания BB₁ = CD и боковые стороны BC = BD равны, но AB = BC, тогда AB = B₁D

Т.к. BB₁ || AD параллельны и AB B₁D не параллельны, следовательно, ABB₁D – трапеция (по определению).

Т.к. AB = B₁D, то ABB₁D – равнобедренная трапеция.

***

 

Задача 148.

Дано:

треугольник ΔABC

EFPQ – трапеция

окружность (O; R)

вектор

 

Построить:

окр (O;R) окр (O₁;R₁)

ΔABC ΔA₁B₁C₁

EFPQ E₁F₁P₁Q₁

 

Построение:

как показано на рисунке.

***

 

Поворот плоскости вокруг точки на угол

Определение:

Поворотом плоскости вокруг точки O на угол α называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M отображается в такую точку M₁, что угол поворота

MOM₁ = α и OM₁ = OM.

O – центр поворота

α – угол поворота

 

***

 

Задача 149.

Дано:

α = 75° (против часовой стрелки)

O – центр поворота

AB – отрезок

 

Построить:

A₁B₁

Построение:

1) AA₁;

AOA₁ = 75°

OA = OA₁

 

2) BB₁;

BOB₁ = 75°

OB = OB₁

***

 

Теорема:

Поворот является движением.

 

Дано:

f – поворот

α – угол поворота (против часовой стрелки)

точка O – центр поворота

MN – отрезок

 

Доказать:

f – движение, MN = M₁N₁

Доказательство:

Пусть M→M₁; N→N₁

Тогда треугольники равны ΔOMN = ΔOM₁N₁ по двум сторонам и углу между ними:

OM = OM₁

ON = ON₁

MON = M₁ON₁

Тогда MN = M₁N₁, значит, f – движение.

***

 

Задача 150.

Дано:

точка O – центр поворота

α = 180°

AB – отрезок

AB→A₁B₁

 

Построить:

A₁B₁

Построение:

1) AA₁;

AOA₁ = 180°

OA = OA₁

2) BB₁;

BOB₁ = 180°

OB = OB₁

***

 

Задача 151.

Дано:

треугольник ΔABC

точка A – центр поворота

α = 160° (против часовой стрелки)

ΔABC→ΔAB₁C₁

 

Построить: ΔAB₁C₁

Построение:

1) BB₁;

BAB₁ = 160°

BA = B₁A

2) CC₁;

CAC₁ = 160°

CA = AC₁

***

 

Задача 152.

Дано:

точка O – центр поворота

α = 120°

AB – отрезок

AB→A₁B₁

 

Построить:

A₁B₁

Построение:

1) AA₁;

AOA₁ = 120°

OA = OA₁

2) BB₁;

BOB₁ = 120°

OB = OB₁

***

 

Задача 153.

Дано:

точка C – центр окружности (C; R)

точка O – центр поворота

угол поворота α = 60° (против часовой стрелки)

а) точка C и точка O не совпадают

б) точка C и точка O совпадают

 

 

Построить:

окружность (С₁; R)

Построение:

а)

1) проведем луч CO

2) CC₁;

COC₁ = 60°

CO = C₁O

б)

Т.к. точка О – центр поворота и точка С – центр окружности совпадают, то окружности (C;R) и (C₁;R) будут тоже совпадать.

***

Задача 154.

Дано:

Δ ABC – равнобедренный, равносторонний

D – точка пересечения биссектрис

D – центр поворота

угол поворота α = 120°

 

Доказать:

ΔABCΔABC

Доказательство:

Т.к. Δ ABC – правильный, то все углы в нем равны 60°.

Т.к. точка D – центр описанной и вписанной окружности, то

AD = BD = DC = R.

Δ ABD = Δ BDC = Δ DAC (по трем сторонам).

Следовательно, что ADB =BDC =CDA

Поэтому

AB

BC

CA

Т.е. ΔABC → ΔBCA.

Таким образом, Δ ABC отображается на себя.

***

 

Повторение.

Задача 155.

Дано:

треугольник ΔABC

соотношение углов

ABC :BCA :CAB = 3 : 7 : 8

 

Найти: наибольший угол треугольника

Решение:

Ответ: 80°.

***

 

Задача 156.

Дано:

треугольник ΔABC – равнобедренный,

один угол больше другого:

ABC >BAC на 60°

 

Найти: угол при основании треугольника

Решение:

Ответ: 40°.

***

 

Задача 157.

Дано:

треугольник ΔABC – прямоугольный

c = 26 см – гипотенуза

соотношение катетов:

a : b = 5 : 12

 

Найти: больший катет b

Решение:

Ответ: 24 см.

***

 

Задача 158.

Дано:

треугольник ΔABC,

C = 90°

b = 5 – катет

c = 13 – гипотенуза

 

Найти: площадь треугольника S_ΔABC = ?

Решение:

Ответ: 30 кв.ед.

***

 

Задача 159.

Дано:

треугольник ΔABC – равнобедренный,

C = 90°

c = 4 – гипотенуза

 

Найти: площадь треугольника S_ΔABC = ?

Решение:

Ответ: 8 кв.ед.

***

 

Задача 160.

Дано:

треугольник ΔABC,

A = 90°

AH – медиана

a = 6

b = 8

 

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Решение:

Ответ: 5 ед.

***

 

Задача 161.

Дано:

треугольник ΔABC,

C = 90°

соотношение острых углов

ABC : CAB = 1 : 2

AC = 4

 

Найти: радиус описанной окружности R = ?

Решение:

Ответ: 4 ед.

***

 

Задача 162.

Дано:

треугольник ΔABC,

C = 90°

BC = 3

радиус описанной окружности

R = 2,5

 

Найти: AC = ?

Решение:

Ответ: 4.

***

 

Задача 163.

Дано:

треугольник ΔABC,

C = 90°

tg A = 0,6

BC = 3

 

Найти: AC = ?

Решение:

Ответ: 5.

***

 

Задача 164.

Дано:

треугольник ΔABC,

A = 90°

AH = AC

 

Найти: ABC = ?

Решение: Ответ: 30°.

***

 

Задача 165.

Дано:

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

площадь треугольника

S_ΔABC = кв.ед.

 

Найти: длину биссектрисы BH = ?

Решение:

Ответ: BH = 1 ед.

***

 

Задача 166.

Дано:

треугольник Δ ABC – правильный, равносторонний,

радиус описанной окружности

R =

 

Найти: площадь треугольника

S_ΔABC = ?

Решение:

Ответ: 2,25 кв.ед.

***

 

Задача 167.

Дано:

Площадь ромба S_ABCD = 384

Соотношение диагоналей ромба:

AC : BD = 3 : 4

 

Найти: сторону ромба AB = ?

Решение:

Ответ: 20.

***

 

Задача 168.

Дано:

треугольник Δ ABD – равнобедренный,

основание AD = 16

сторона AB = 10

 

Найти: площадь треугольника

S_ΔABD = ?

Решение:

Ответ: площадь треугольника S_ΔABD = 48 кв.ед.

***

Задача 169.

Дано:

треугольник Δ ABC –равнобедренный,

высота BH = 15

основание AC больше высоты BH на 15: AC > BH на 15

 

Найти: основание AC = ?

Решение:

Ответ: AC = 40 ед.

***

 

Подобные треугольники

Задача 170.

Дано:

треугольник Δ ABC, два угла

A = 54°

B = 18°

CH – биссектриса углаC

Доказать: подобие треугольников

Δ BHC Δ ABC

Доказательство:

C = 180° – (A +B)

C = 180° – (54° + 18°) = 108°

Т.к. CH – биссектриса углаC, то

углы равны

BCH = HCA = 108° : 2 = 54°

Рассмотрим Δ BHC

HBC = B = 18°

BCH = A = 54°

Тогда CHB = C = 108°

Поэтому треугольники подобны Δ BHC Δ ABC.

***

 

Задача 171.

Дано:

ABCD – трапеция,

верхнее основание BC = 4 см

нижнее основание AD = 10 см

диагональ BD = 8 см

 

Найти:

часть диагонали BO = ?

соотношение периметров треугольников

= ?

Решение:

Ответ: BO = 2см, = 0,4.

***

 

Задача 172.

Дано:

подобные треугольники

ΔABC ΔA₁B₁C₁ ,

AB = 12 дм,

BC = 16 дм,

AC = 20 дм,

периметр треугольника:

P (ΔA₁B₁C₁) = 60 дм

 

Найти:

стороны треугольника ΔA₁B₁C₁

A₁B₁, A₁C₁, B₁C₁= ?

Решение:

Ответ: A₁C₁ = 25 дм, A₁B₁ = 15 дм, B₁C₁ = 20 дм.

***

 

Задача 173.

Дано:

ABCD – трапеция,

стороны трапеции пересекаются в точке M:

AB ∩ CD = M,

BC = 5 см,

AD = 8 см,

AB = 3,9 см,

CD = 3,6 см

 

Найти:

MB, MC = ?

Решение:

Ответ: 6,5 см, 6 см.

***