Длина окружности, площадь круга и кругового сектора

  • Корзина

    Пусто

Содержание онлайн страницы:

  • – тема "Длина окружности" представлена на примере решения задач 124 - 129;
  • – в контрольных работах с номерами 130 - 138 данной рабочей тетради по математике рассматривается, как находить площадь круга и сектора окружности.

Вывод формулы длины окружности.

Пусть C и C′ - длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.

Pn и Pn′ - их периметры, an и an′ - стороны.

Pn = n • an = n • 2R • Sin

Pn′ = n • an = n • 2R′ • Sin

Тогда

Зная, что периметры Pn и Pn′ - приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем

Но в силу равенства получаем

По свойству пропорции

Значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.



Формула длины окружности:

***

 

Задача 124.

Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

Если C = 82, то радиус окружности R == = 13,1

Если C = 18π, то радиус окружности R == = 9

***

 

Задача 125.

Дано:

a - сторона правильного треугольника

 

Найдите: длину описанной окружности

Решение:

Т.к. сторона правильного многоугольника

an = 2R • Sin (), тогда сторона правильного треугольника

a = R R =

Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR =

***

 

Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α.

Градусная мера окружности 360°,

Длина окружности C = 2πR

Длина дуги в 1° равна

 

 

Тогда длина дуги окружности в α градусах:

 

 

 

***

 

Задача 126.

Дано:

радиус R= 6 см,

угол дуги

1) α = 30° 2) α = 45° 3) α = 60° 4) α = 90°

 

Найти: длину дуги окружности

Решение:

1) L = • 30° = • 30° = π (см)

2) L = • 45° = • 3 = 1,5π (см)

3) L = • 60° = 2π (см)

4) L = • 90° = 3π (см)

***

 

Задача 127.

Дано:

ABCDEF - правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника S6 = 24 см2

 

Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?

Решение:

C = 2πR

Значит, нужно найти радиус описанной окружности.

Площадь шестиугольника определяется по формуле

S6 = • P6 • r6

Радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6 = R • Cos = • R

Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R

Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 • a6 = 6R (см)

S6 = • P6 • r6 = • 6R • • R = 1,5•R2

24= 1,5•R2

R2 = = 16 Получаем радиус описанной окружности

R = = 4 (см)

Тогда длина описанной окружности равна

C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)

Ответ: 8π см.

***

 

Задача 128.

Дано:

ABCD - квадрат,

сторона квадрата AB = a

 

Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?

Решение:

r4 = R • Cos = R • Cos 45° = R

C = 2π • r = 2π • R = π • R

AB = a = 2r = R. Значит, C = π • R= π • a

Ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a

***

 

Задача 129.

Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур

1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;

a, b – катеты

2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) ABCD – вписанный прямоугольник,

BC = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

 

Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?

Решение:

1)

2R = AB R = AB

AB =

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

C = 2π • = π

 

2)

BH = =

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

SΔABC = BH • AC = (1)

Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

SΔABC = = (2)

 

Используя равенства (1) и (2), получаем

= R =

 

Тогда длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника

C = 2π •

 

3)

OB = OC = OA = OD = R

Проведем OH – высота и биссектриса равнобедренного треугольника ΔAOD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOHD.

AOD = 180° – α,

HOD = • (180° – α)

ODA = 180° – DHO – HOD

ODA =OAD = 180° – 90° – • (180° – α) =

AH = HD =

CosOAD = Cos = =

R =

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольника

C = 2π • =

 

***

 

Наверх

Площадь круга

Дано:

A1A2…An– правильный многоугольник

круг (O; R)

малый круг′ (O; rn)

S – площадь круга

Sn′ – площадь малого круга

 

Доказать:

S = πR2

Доказательство:

Рассмотрим правильный многоугольник (см. рисунок).

Площадь круга больше площади многоугольника:

Sn < Sкруга

Площадь многоугольника больше площади малого круга:

Sn′ < Sn

Тогда Sn′ < Sn < S (1)

 

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник

rn = R • Cos ()

 

При n→∞ косинус Cos ()→1, поэтому rn → R

Следовательно, Sn′ → S при n→∞.

Из неравенства (1) следует Sn → S при n→∞.

Мы знаем, что площадь правильного многоугольника

Sn = Pn • rn, где Pn – периметр многоугольника A1A2…An.

Учитывая, что rn → R, Pn → 2πR, Sn → S при n→∞.

Тогда S = Pn • rn = 2πR • R = πR2

Формула площади круга:

***

Наверх

Площадь сектора круга

Определение:

Сектором круга или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

πR2 – площадь круга.

Площадь кругового сектора, мера которого 1°, равна

Площадь кругового сектора, мера которого α градусов, равна

 

Формула площади сектора круга:

, где

α – градусная мера дуги.

***

 

Задача 130.

Дано:

AOB = 72°

S – площадь кругового сектора

 

Найдите: R – радиус окружности

Решение:

S =

360° • S = πR2 • α

R2 = = R =

Ответ: радиус равен R =

***

Задача 131.

Дано:

ABCD – квадрат,

сторона квадрата AB = a

 

Вычислите:

площадь закрашенной фигуры SEFE1F1 = ?

Решение:

S =

Рассмотрим на рисунке сектор FAE1H3, где AF = AH3 = R =

S = S1 = • 90° =

Площадь четырех секторов:

S1+2+3+4 = 4 • =

Площадь квадрата

SABCD = AC • BD.

Рассмотрим ΔACD, где AD = CD = a.

По теореме Пифагора:

AC =

Тогда Sn= = a2

Следовательно, площадь заштрихованной фигуры

SEFE1F1 = SABCD – S 1+2+3+4 = a2=

Ответ: .

***

 

Задача 132.

Дано:

окружность (O;OH1)

окружность (O;OH2)

окружность (O;OH3)

окружность (O;OH4)

OH1 = 1, OH2 = 2

OH3 = 3; OH4 = 4

 

Найти: площадь окружности (O;OH1),

площадь каждой из трех мишеней = ?

Решение:

Sокр1 = πR2 = π • (OH1)2 = π • 1 = π

Sокр2 = πR2 = π • (OH2)2 = π • 4 = 4π

Sокр3 = πR2 = π • (OH3)2 = π • 9 = 9π

Sокр4 = πR2 = π • (OH4)2 = π • 16 = 16π

 

Sм2 = Sокр2 – Sокр1 = 4π – π = 3π

Sм3 = Sокр3 – Sокр2 = 9π – 4π = 5π

Sм4 = Sокр4 – Sокр3 = 16π – 9π = 7π

Ответ: Sокр1 = π; Sм2 = 3π; Sм3 = 5π; Sм4 = 7π.

***

 

Задача 133.

Дано:

круг (O;R), описанный около четырехугольника и треугольника

1) ABCD – прямоугольник,

a и b – стороны прямоугольника

2) Δ ABC – прямоугольный,

a – катет,

α – противолежащий угол

 

Найти: площадь круга, изображенного на рисунке.

S = πR2 = ?

Решение:

1)

BD = 2BO = 2R

Рассмотрим треугольник ΔABD – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

BD2 = AB2 + AD2

(2R)2 = a2 + b2

R2 =

Тогда площадь круга S = πR2 = π •

2)

Найдем площадь круга через его диаметр AB = 2AO = R

Sin α = AB =

2R = R =

 

Следовательно,

S = πR2 = π • = π • =

Ответ: 1) π •; 2) .

***

 

Задача 134.

Дано:

ΔABC – прямоугольный

круг1 (O1; AO1) на гипотенузе AB

круг2 (O2; BO2) на катете BC

круг3(O3; CO3) на катете AC

 

Доказать:

Сумма площади полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах

S1 = S2 + S3

Доказательство:

Пусть AB = c; AC = a; BC = b.

Формула площади сектора круга

S =

S = =

S1 = • O1A2, где O1A = c S1 =•c2

S2 = • O2B2, где O2B = b S2 =•b2

S3 = • O3C2, где O3C = a S3 =•a2

Тогда S2 + S3 =•a2 +•b2 = • (a2 + b2)

По теореме Пифагора:

c2 = a2 + b2

Следовательно,

S2 + S3 = • (a2 + b2) = • c2 = S1

Поэтому S1 = S2 + S3

***

 

Задача 135.

Дано:

окружность (O; AO)

AO – радиус

AO = 10 см

AMB = AOB = 60°

 

Определите:

чему равна площадь сектора круга с дугой ALB = ?

Решение:

Градусная мера дуги

ALB = 360° – 60° = 300°

Тогда площадь сектора круга

S = = = ≈ 261,67 ≈ 262 (см2)

Ответ: площадь сегмента круга S ≈ 262 см2.

***

 

Задача 136.

Дано:

круг (O; OH) вписан в ΔABC –

равносторонний

AB = a

Найти: чему равна площадь круга

Sкруга = ?

Решение:

S = πR2 = πr2

Рассмотрим треугольник ΔABH – прямоугольный.

AO – биссектриса угла A.

Значит, OAH = 60° : 2 = 30°

OH = AO

r =

AOH = 180° – (30° + 90°) = 60°

Sin 60° = радиус описанного круга R =

Тогда радиус вписанного круга r = : 2 =

Следовательно, площадь круга S = πr2 = =

Ответ: Sкруга =

***

Задача 137.

Дано:

Малый круг (O; OD)

Площадь большого круга

S круг(O; OC) = 314 мм2

Диаметр малого круга

D круг(O; OD) = 18,5 мм

 

Найти: разницу диаметров

HC = ?

Решение:

S = πR2

314 = πR2

= = 10 (мм)

D2 = 2R = 2 • 9,25 = 18,5 (мм)

R2 = 9,25 мм

HC = R1 – R2 = 10 – 9,25 = 0,75 (мм).

Ответ: 0,75 мм.

***

 

Задача 138.

Дано:

Малый круг (O; OH) – отверстие трубы

Радиус малой трубы OH = 3м

Разница диаметров между двумя трубами AB = 1м

На квадратный метр уходит 0,8 кубических дециметров песка

1 м2 → 0,8 дм3

 

Найти: сколько нужно песка, чтобы заполнить пространство между двумя трубами

Решение:

Рассмотрим круг′ (O; OH).

Площадь данного круга:

S′ = πR2 = 9 • 3,14 ≈ 28,26 (м2)

Рассмотрим круг′′ (O; OH+AB).

S′′ = πR2 = 16 • 3,14 ≈ 50,24 (м2)

Тогда площадь между двумя трубами

S = S′′ – S′ = 50,24 – 28,26 ≈ 21,98 (м2)

Тогда искомое количество песка

21,98 • 0,8 ≈ 17,58 дм3 ≈ 17,6 дм3

Ответ: ≈ 17,6 дм3.

***