Задачи в координатах

  • Корзина

    Пусто

На данной онлайн странице представлены следующие готовые домашние задания, гдз по геометрии из решебника за 9 класс:

  • – задачи 23 - 27 показывают примеры решений и ответы по теме "Формула для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца";
  • – в заданиях 28 - 33 рассмотрено, как решать геометрию, если нужно определить координаты середины отрезка, длину вектора по координатам;
  • – решения задач в координатах объясняются в контрольных с номерами 34 - 38;
  • – тема "Точки, треугольники, четырехугольники в координатах" представлена в работах 39 - 42 учебника;
  • – в примерах задач 43 - 47 рабочей тетради показывается, как находить различные решения по теме "Уравнение окружности";
  • – вопрос, как вычислить и написать параметрическое уравнение прямой, рассматривается в тестах 48 - 53.

Простейшие задачи в координатах

Определение:

Радиус-вектор произвольной точки М – это вектор, проведенный из начала координат в точку М.

 

Теорема:

Координаты любой точки плоскости равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Дано:

M(x;y) – точка

– радиус-вектор точки М

Доказать: {x; y}

Доказательство:

1 случай (рис.1). Если x>0

По правилу параллелограмма , где х=OM1

= OM1 = x

= OM2 = y

Значит,

Поэтому {x; y}

 

2 случай. Если x<0

 

 

 

Формула для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Теорема:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Дано:

– произвольный вектор

A (a1;a2) - координаты начала вектора AB

B (b1;b2) - координаты конца вектора AB

 

Доказать: {b1 – a1; b2 – a2}

Доказательство:

По правилу треугольника вектор ==

= {b1 – a1; b2 – a2}, где {b1;b2} и {a1;a2}, т.к. они радиус вектора.

***

 

Задача 23.

Дано:

ΔABC – равнобедренный треугольник

AB=2a, CO=h

Найти: координаты точки А, точки B и точки C

Решение:

Точка C лежит на оси ординат: СOy, то координаты точки С(0;h)

Т.к. CO является высотой в равнобедренном треугольнике, то CO и медиана.

Следовательно, AO=OB=2a : 2 = a

Тогда координаты точки A(–a;0), координаты точки B(a;0), т.к. A и B Ox (лежат на оси абсцисс).

***

 

Задача 24.

Найти: координаты вектора , если даны координаты начала и конца вектора

1) A(2;7) и B(–2;7); 2) A(–5;1) и B(–5;27)

Решение:

1) = B–A={–2;7}–{2;7} = {–2–2;7–7}={–4;0}

2) = {–5;27}– {–5;1} = {–5+5;27–1}={0;26}

***

 

Задача 25.

Найти: координаты вектора, если даны координаты начала и конца вектора

1) A(–3;0) и B(0;4); 2) A(0;3) и B(–4;0)

Решение:

1) = B–A=

2) = B–A=

***

 

Задача 26.

Найти: координаты вектора, а также координаты его начала и конца вектора

Решение:

1) Если A(0;0), B(1;1), то = B–A=

2) Если A(x;–3), B(2;–7), {5;y}, то = B – A =

5 = 2 – x x= –3

y = –4

3) Если A(a;b), {c;d}, то = B – A

B=

4) Если A(1;2), {0;0}, то = B – A

B=

***

Задача 27.

Дано:

MNPQ – квадрат

P (–3;3) – координаты точки

NQ ∩ PM = O(0;0)

Найти: координаты точки M,N,Q

Решение:

Т.к. диагонали в квадрате в точке пересечения делятся пополам, то PO=OM , т.к. PO и OM - коллинеарные векторы, но ↑↓ – разнонаправленные.

Тогда {3;–3} M(3;–3)

Из точки P проведем перпендикуляр к оси y на пересечение с диагональю NQ.

Тогда точка N – вершина квадрата. Т.к. вершина квадрата расположена в первой (I) координатной четверти, то N(3;3);

Т.к. диагонали в точке пересечения делятся пополам, то NO=OQ

, т.к. коллинеарны, но разнонаправлены ↑↓ - т.е данные векторы - коллинеарные векторы и противоположно направленные векторы

Тогда {–3;–3} Q(–3;–3)

Ответ: M(3;–3), Q(–3;–3), N(3;3) и

M(3;–3), N(–3;–3), Q(3;3)

***

 

Наверх

Формула, как найти координаты середины отрезка

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его конца и начала.

 

Задача 28.

Дано:

Отрезок AB, A(x1; y1), B(x2; y2)

CAB, AC=CB

 

Доказать: C

Доказательство:

Т.к. вектор OC равен половине суммы двух других векторов OA и OB, исходящих из одной и той же точки O (см. Задача 4), то

Т.к. и являются радиус-векторами точек A и B, то {x1; y1} и {x2; y2}.

Тогда

C, т.к. – радиус вектора точки C.

Формула, как найти координаты середины отрезка

C

 

Пример 1.

Дано:

точки A и B – концы отрезка AB, точка M – середина отрезка AB

а) Если даны координаты точек A(2; –3); B(–3; 1), то как найти координаты середины отрезка AB

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M MM

б) Если даны координаты точек B(4; 7); M(–3; –2), то как найти координаты точки A(x;y).

и

–6 = 4+x –4 = 7+y

x= –10 y= –11

Ответ: M; A (– 10; – 11)

***

 

Задача 29. Длина вектора по координатам

Дано: координаты вектора

{a1; a2}

 

Доказать: Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат

Доказательство:

От точки О (0;0) отложим вектор =

Но есть радиус-вектор точки А. Тогда A(a1; a2)

Из треугольника ΔOAA1 по теореме Пифагора:

a1=OA1; a2=OA2=AA1

OA2=

OA=

Формула, как найти длину вектора по координатам вектора

 

Пример 2.

{11;–11}, то =

=

{10;0}, то = 10

 

Задача 30.

Дано: координаты точки

M1(x1; y1), M2(x2; y2)

 

Найти: расстояние между двумя точками

d= M1M2 = ?

Решение:

{ x2– x1; y2– y1},

, = M1M2 = d

Тогда

Формула, как найти расстояние между двумя точками

***

 

Задача 31.

 

Дано: координаты начала отрезка, координаты конца отрезка, координаты середины отрезка

 

1

2

3

4

A

(2;–3)

?

(0;0)

(0;1)

B

(–3;1)

(4;7)

(–3;7)

?

M

?

(–3;–2)

?

(3;–5)

 

Найти: координаты начала, конца и середины отрезка AB.

Решение:

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M

1) MM(–0,5 ; –1)

2) Если B (4;7) и M (–3;–2), то нужно найти координаты начала отрезка A(x;y) – ?

–3=

–6=4+x

x=–10

 

–2=

–2•2=7+y

y=– 11

3) MM(–1,5 ; 3,5)

4) Если A (0;1) и M (3;–5), то нужно найти координаты конца отрезка B(x;y) – ?

3=

6=x+0

x=6

 

–5=

2•(–5)=y+1

y=– 11

 

 

5

6

7

8

A

(c;d)

(3;5)

(1;3)

(3t+5;7)

B

?

(3;8)

?

(t+7;–7)

M

(a;b)

?

(0;0)

?

 

5) Если A (c;d) и M (a;b), то нужно найти координаты конца отрезка B(x;y) – ?

a=

2a=c+x

x=2a–c

 

b=

2b=d+y

y=2b–d

6) MM(3 ; 6,5)

7) Если A (1;3) и M (0;0), то нужно найти координаты конца отрезка B(x;y) – ?

0=

0=1+x

x=–1

 

0=

0=3+y

y=–3

8) MM(2t+6 ; 0)

***

 

Задача 32.

Дано: координаты вектора

{5;9}; {–3;4}; {–10;–10}; {10;17}

 

Найти: длину векторов
;
;
;
– ?

Решение:

Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам,

a) ====

б) =====5

в) ====10

г) == =

***

 

Задача 33.

Дано: координаты точек A и B

 

1

2

3

4

A

(2;7)

(–5;1)

(–3;0)

(0;3)

B

(–2;7)

(–5;–7)

(0;4)

(–4;0)

d

?

?

?

?

 

Найти: расстояние между двумя точками – ?

Решение:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

1) d = = = 4

2) d = = = 8

3) d = ===5

4) d = ===5

***

 

Наверх

Решение задач в координатах

Задача 34.

Дано:

система координат,

треугольник ΔABC,

AM – медиана

координаты концов треугольника

A(0;1), B(1;–4), C(5;2)

Найти: длину медианы AM– ?

Решение:

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M MM(3 ; –1), т.к. точка M – середина BC

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

AM ===

Ответ: AM =

***

 

Задача 35.

Дано:

OACB – параллелограмм

Длина стороны OA=a

Координаты точки B (b;c)

 

Найти: координаты точки C(x;y),

длину сторон AC, CO – ?

Решение:

Т.к. О – начало координат, то координаты точки О (0;0).

Т.к. OA=a и точка A лежит на оси абсцисс Ox, тогда координаты точки A (a;0).

По правилу параллелограмма и т.к. OC – вектор, то

=

Таким образом, вектор имеет координаты {a+b;c}

Т.к. – радиус-вектора точки C, то координаты точки C (a+b;c).

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

AC ==

CO = ==

Ответ: C (a+b;c) ; AC=; CO =

***

 

Задача 36.

Дано:

система координат,

треугольник ,

координаты концов треугольника A(0;1), B(1;–4), C(5;2)

 

1) Доказать: треугольник ΔABC - равнобедренный

Доказательство:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

AC===

AB===

Т.к. AC=AB=, то треугольник ΔABC – равнобедренный.

 

2) Найти: SΔABC площадь треугольника ΔABC – ?

Решение:

Проведем высоту AM к основанию BC.

Используя формулу для вычисления площади треугольника, получаем

SΔABC= AM•BC

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M MM(3 ; –1), т.к. точка M – середина BC

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

AM ===

BC ===2

Тогда площадь треугольника SΔABC =•2==13

Ответ: SΔABC =13.

***

 

Задача 37.

Дано:

система координат,

треугольник ΔMNP,

координаты вершин треугольника

M(4;0), N(12;–2), P(5;–9)

 

Найти: периметр треугольника PΔMNP – ?

Решение:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

MN====

NP===

PM===

Используя формулу для вычисления периметра треугольника, получаем PΔMNP =MN+NP+PM=++

Ответ: PΔMNP =++

***

 

Задача 38.

Дано:

MNPQ – четырехугольник

координаты вершин четырехугольника

M(1;1), N(6;1), P(7;4), Q(2;4)

 

1) Доказать: MNPQ – параллелограмм

Доказательство:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

MN=== 5

PQ === 5

NP ===

QM ===

Т.к. MN=PQ=5 и NP=QM=, то MNPQ – параллелограмм

 

2) Найти: длину MP, NQ – ?

Решение:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками

, получаем

MP === ==3

NQ === = 5

Ответ: MP= 3, NQ = 5

***

 

Наверх

Точки, треугольники, четырехугольники в координатах

Задача 39.

Дано:

координаты точек C(4;–3), D(8;1)

точка А лежит на оси ординат Oy

AC=AD

 

Найти: координаты точки A – ?

Решение:

1) Т.к. точка A лежит на оси ординат Oy, то ее координаты (0;y).

2) Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

AD==

3) AC==

4) Т.к. AC=AD, то =

64 + (y – 1)2= 16 + (3 + y)2

64 + 1 – 2y+y2=16 + 9 + 6y + y2

–2y – 6y= 25 – 65

–8y = –40

y = 5

Ответ: A (0; 5).

***

 

Задача 40.

Дано:

O(0;0)

ΔABC – равнобедренный

Медиана OC=160см

Основание AB=80см

 

Найти: AK; NB

Решение:

1) Т.к. точки A и B лежат на оси абсцисс Ox,

AO=OB=80 : 2 = 40 (см)

Координаты точек B(40;0) и A(–40;0)

2) Т.к. OC = 160 см и точка C лежит на оси ординат Oy

Координаты точки C(0;160)

3) Т.к. K – середина BC, то, используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем K

KK(20 ; 80)

4) Тогда, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

AK= = ==100 (см)

5) Т.к. N – середина отрезка AC, то, используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем

N NN(–20 ; 80)

6) Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

NB = = ==100 (см)

Ответ: AK = NB = 100 см

***

 

Задача 41.

Дано:

Треугольник ΔABC

Прямой угол C = 90°

Точка M лежит на стороне AB

Точка M – середина стороны AB

BC=a, AC=b

 

Доказать: длина высоты в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы.

Доказательство:

Т.к. BC=a, AC=b, то

точка C (0;0) – т.к. точка C – начало координат

Тогда B(a;0), A(0;b).

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M MM(;), т.к. точка M – середина AB.

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

MC== =

AM==

Следовательно, AM=MB=MC.

***

Задача 42.

Дано:

ABCD – параллелограмм

AD=BC=a

координаты точек

B(b;c), D(a;0), C(a+b;c)

 

Доказать:

Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов отрезков, соединяющих противоположные вершины параллелограмма.

AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2

Доказательство:

используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

AB= AB2 = b2+c2

AD=AD2 = a2

AC=AC2 = (a+b)2 + c2

BD=AC2 = (a–b)2 + c2

Т.к. AB=CD, AD=BC, тогда

AB2 + AD2 + BC2 + CD2 = 2(AB2 + AD2) = 2(b2+c2 + a2)

AC2 + BD2 = (a+b)2 + c2 + (a–b)2 + c2 = a2 + 2ab + b2 + c2 + a2 – 2ab + b2 + c2 = 2(a2 + b2 + c2)

Т.е. AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2

 

***

 

Наверх

Уравнение линии и уравнение окружности

Определение: Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема - формула уравнения окружности или уравнения радиуса окружности:

В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром в точке C(x0; y0) и радиуса – r имеет вид

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2

 

Дано:

Окружность (C;r) с центром в точке C,

координаты точки C(x0; y0)

 

Доказать: уравнение окружности (x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2

Доказательство:

Возьмем точку M(x;y), лежащей на окружности (C;r)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

CM=, но CM=r

Тогда CM2 = r2

r2 = (x – x0)2 + (y – y0)2 (1)

Координаты точки M удовлетворяют уравнению (1).

Если N(x1;y1) не лежит на окружности (C;r), тогда

Т.к. NC ≠ r , то координаты точки N не удовлетворяют уравнению (1).

Значит, уравнение окружности (x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2

Если центр окружности – точка C имеет координаты C(x0; y0) = O(0;0) уравнение окружности x2 + y2 = r 2

***

 

Задача 43.

Дано: уравнение окружности с центром в точке A, проходящей через 2 точки

а) x2 + y2 = 9

б) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4

в) (x + 5)2 + (y – 3)2 = 25

г) (x – 1)2 + y2 = 4

д) x2 + (y + 2)2 = 2

 

Найти: центр окружности и ее радиус r

Решение:

а) Пусть существует окружность с центром A и радиусом r или кратко:

окр(A;r),

а также точка B c координатами (x;y), которая лежит на данной окружности или кратко:

B(x;y) окр.

 

Но AB = r, значит, AB2=r2 r2=9 r2=32 , т.е. r = 3.

Т.к. x2 + y2 = 9, то x0 =0 и y0=0, тогда центр окружности имеет координаты A(0;0). График окружности представлен на рисунке а).

 

 

б) Т.к. (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4, то по уравнению окружности

x0 = 1 и y0= – 2.

Тогда A(1;–2), где A – центр окружности.

Т.к. r2 = 4, то r = 2. График окружности представлен на рисунке б)

 

в) Т.к. (x + 5)2 + (y – 3)2 = 25, то по уравнению окружности

x0 = –5 и y0= 3.

Тогда A(–5;3), где A – центр окружности.

Т.к. r2 = 25, то r = 5.

Изобразим данную окружность. График окружности представлен на рисунке в)

 

г) Т.к. (x – 1)2 + y2 = 4, то по уравнению окружности

x0 = 1 и y0= 0.

Тогда A(1;0), где A – центр окружности.

Т.к. r2 = 4, то r = 2.

Изобразим данную окружность. График окружности представлен на рисунке г)

 

 

д) Т.к. x2 + (y + 2)2 = 2, то по уравнению окружности

x0 = 0 и y0= –2.

Тогда A(0;–2), где A – центр окружности.

Т.к. r2 = 2, то r ≈ 1,4.

Изобразим данную окружность. График окружности представлен на рисунке д)

 

***

 

Задача 44.

Дано: окружность задана уравнением

а) x2 + y2 = 25

б) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9

 

Определить: какие из точек A,B,C,D,E принадлежат окружности (A;r)

Если A(3;–4); B(1;0); C(0;5); D(0;0); E(0;1)

Решение:

а) Если A(3;–4), где x=3 и y=–4, то 32 + (–4)2 = 25

9+16=25

25=25

Точка A принадлежит окружности (A;r) или т.Aокр (A;r)

 

Если B(1;0), где x=3 и y=0, то 12 + 02 = 25

1≠25

Значит, точка B не принадлежит окружности (A;r) или т.Bокр (A;r)

 

Если C(0;5), где x=0 и y=5, то 02 + 52 = 25

25=25

Значит, точка C принадлежит окружности (A;r) или т.Cокр (A;r)

 

Если D(0;0), где x=0 и y=0, то 02 + 02 = 25

0≠25

Значит, точка D не принадлежит окружности (A;r) или т.Dокр (A;r)

 

Если E(0;1), где x=0 и y=1, то 02 + 12 = 25

1≠25

Значит, точка E принадлежит окружности (A;r) или т.Eокр (A;r)

 

б) Если A(3;–4), где x=3 и y=–4, то (3 – 1)2 + (–4 + 3)2 = 9

4+1=9

5≠9

Точка A не принадлежит окружности (A;r) или т.Aокр (A;r)

 

Если B(1;0), где x=1 и y=0, то (1 – 1)2 + (0 + 3)2 = 9

9=9

Точка B принадлежит окружности (A;r) или т.Bокр (A;r)

 

Если C(0;5), где x=0 и y=5, то (0 – 1)2 + (5 + 3)2 = 9

1+64≠9

65≠9

Точка C не принадлежит окружности (A;r) или т.Cокр (A;r)

 

Если D(0;0), где x=0 и y=0, то (0 – 1)2 + (0 + 3)2 = 9

10≠9

Точка D не принадлежит окружности (A;r) или т.Dокр (A;r)

 

Если E(0;1), где x=0 и y=1, то (0 – 1)2 + (1 + 3)2 = 9

17≠9

Точка E не принадлежит окружности (A;r) или т.Eокр (A;r)

***

 

Задача 45.

Дано: окружность, заданная уравнением

Уравнение окружности через 2 точки (x+5)2 + (y – 1)2 = 16

Окружность (C;r), где r=4, C(–5;1)

Точка A(–2;4), B(–5;–3)

 

Определить: какие из точек A или B принадлежат окружности (C;r)

Решение:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

CA===3,

3 >4, значит, точка A – снаружи окружности (C;r)

 

CB===4,

4=4, значит, точка B лежит на окружности (C;r)

***

 

Задача 46.

Дано:

Окружность (C;r), где диаметр окружности d=MN

Координаты точек M(–3;5), N(7;–3)

 

Напишите: уравнение окружности с центром C, проходящей через 2 точки - M и N

Решение:

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

CA====2,

Т.к. d=2r, то r =• d = =

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем координаты центра окружности C CC(2;1), т.к. точка C – середина MN.

 

Используя формулу уравнения окружности (x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2, следовательно, (x – 2)2 + (y – 1)2 =

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 41

Ответ: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 41

***

 

Задача 47.

Дано:

Окружность (C;r), где координаты центра окружности C(0;y)

Точки A и B лежат на окружности

Координаты точек A(–3;0), B(0;9)

 

Написать: уравнение окружности с центром в точке C, проходящей через 2 точки

Решение:

Используя формулу уравнения окружности (x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2, следовательно, x2 + (y – y0)2 = r 2

Т.к. точка B лежит на окружности и ее координаты B(x=0;y=9).

Тогда точка B лежит на оси ординат Oy, то CB=r.

x2 + (y – y0)2 = r 2 02+ (9 – y0) 2 = r 2

 

Т.к. точка A лежит на окружности и ее координаты

A(x=–3;y=0).

Тогда точка A лежит на оси абсцисс Ox, то CB=r.

(–3)2 + (0 – y0)2 = r 2 9 + y02 = r 2

 

Тогда (9 – y0) 2 = 9 + y02

y0 2 – 18 y0 + 81 = 9 + y02

– 18 y0 = – 72

y0 = 4

Значит, C(0;4).

Получаем уравнение окружности вида x2 + (y – 4)2 = r 2

Найдем радиус r.

Т.к. точки A и B принадлежат окружности, то

(–3)2 + (0 – 4)2 = r2

9+16 = r2

r2 = 25

или

02 + (9 – 4)2 = r2

r2 = 25

 

Отсюда следует уравнение окружности x2 + (y – 4)2 = 25

Ответ: x2 + (y – 4)2 = 25

***

 

Наверх

Уравнение прямой

График уравнения прямой линии, проходящей через точку. Виды уравнений прямой.

1) Формула уравнения прямой l: ax + by + c = 0, где a,b,c – коэффициенты уравнения прямой
2) l1: y = y0 – уравнение прямой, проходящей через точку M0, перпендикулярной прямой y, оси ординат Oy, параллельно прямой x, оси абсцисс Ox
3) l2: x = x0 – уравнение прямой, проходящей через точку M0, параллельной прямой оси ординат Oy, перпендикулярно оси абсцисс Ox
4) y = 0 уравнение прямой, оси абсцисс Ox, проходящей через начало координат
5) x = 0 уравнение оси ординат Oy, которая проходит через точку начала координат

 

 

Задача 48.

Составить: уравнение прямой, проходящей через 1 точку – центр окружности.

а) (x +3)2 + (y – 2)2 = 25, параллельно оси Oy

б) (x –2)2 + (y +5)2 = 3, параллельно оси Ox

Решение:

а) (x +3)2 + (y – 2)2 = 25 центр окружности окр(–3;2), где r=5

Прямая проходит параллельно оси Oy , тогда ее уравнение x=x0.

Значит, x= –3.

 

б) (x – 2)2 + (y +5)2 = 3 центр окружности окр(2;–5), где r=

Прямая проходит параллельно оси Oy , тогда ее уравнение y=y0.

Значит, y= –5.

***

 

Задача 49.

Дано: уравнения двух прямых

b1: 4x + 3y – 6=0

прямая b2 задана уравнением: 2x + y – 4=0

 

Укажите: координаты A(x;y), где A – точка пересечения прямых b1 и b2

Решение:

Составим и решим систему уравнений прямых

Сумма уравнений (1) и (2) –2x = –6

Тогда x=3.

Подставим x=3 в уравнение 4x+3y=6.

Тогда 12+3y= –6 y= –2

Ответ: A(3; –2)

***

Задача 50.

Дано: координаты двух точек A(1;–1), B(–3;2)

Найдите: уравнение прямой AB по точкам

Решение:

Общее уравнение прямой имеет вид AB=ax+by+c=0, где через координаты нужно найти a=? b=? c=?

Т.к. точки A и B лежат на прямой AB (или кратко: A и Bпр. AB),

то их координаты удовлетворяют уравнению прямой AB

 

–a=–3c a=3c

Тогда в уравнение a–b=–c подставим a=3c. Значит,

3c–b=–c

–b=–4c

b=4c

Тогда уравнение прямой AB через две точки: ax+by+c=0

3c+4cy+c=0

c(3x+4y+1)=0

3x+4y+1=0

Ответ: уравнение прямой по двум данным точкам 3x+4y+1=0

***

Задача 51.

Дано: координаты двух точек C(2;5), D(5;2)

Составьте: уравнение прямой AB, проходящей через 2 заданные точки

Решение:

Общее уравнение прямой AB: ax+by+c=0, где нужно найти a=? b=? c=?

Т.к. точки A и B лежат на прямой AB, то следовательно их координаты удовлетворяют уравнению прямой AB

 

–10,5b=1,5c

c=–7b

Тогда в уравнение 2a+5b=–c подставим

c=–7b, значит, 2a+5b=7b

2a=7b–5b

a=b

Тогда следует записать уравнение прямой AB: ax+by+c=0

bx+by+(–7b)=0

b(x + y – 7)=0

x + y – 7=0

Ответ: по указанным двум точкам следует задать уравнение прямой AB x+y–7=0

***

Задача 52.

Дано:

прямая AB задается уравнением 3x–4y+12=0

Найти: координаты двух точек A и B – точки пересечения с осями координат

Решение:

Т.к. точки A и B лежат на прямой AB, то следовательно их координаты удовлетворяют уравнению прямой AB.

Т.к. прямая AB пересекает с осями координат, то

I координата – (x;0)

II координата – (0;y)

Значит, 3x–4•0+12=0

3x=–12

x=–4 A(–4;0)

 

3•0–4y+12=0

–4y=–12

y=3 B(0;3)

Далее следует построить прямую AB в координатной плоскости.

Для построения прямой сначала отмечаем точки в системе координат: абсцисса точки A равна -4, ее ордината равна нулю; абсцисса точки B равна нулю, ее ордината равна 3. Проводим прямую линию через отмеченные две точки.

Ответ: A(–4;0), B(0;3)

***

 

Задача 53.

Дано:

Треугольник ΔABC

Координаты вершин треугольника A(4;6), B(–4;0), C(–1;–4)

Точка M лежит на отрезке AB

Запишите: по координатам точек уравнение прямой линии, содержащей медиану MC

Решение:

Найдем координату точки M.

Используя формулу для нахождения координаты середины отрезка, получаем M M

 

M(0;3), т.к. точка M – середина AB.

Каноническое уравнение прямой MC, проходящей через точку, имеет вид: ax+by+c=0, где нужно найти a=? b=? c=?

Т.к. точки M и C лежат на прямой MC (или кратко: M,CMC), то, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению прямой MC.

–3a=–7c

Подставив

в уравнение –a – 4b = –c, получаем

b=

Зная a и b, найдем координатное уравнение прямой MC: ax+by+c=0

7x–y+3=0

Ответ: линейное уравнение прямой MC: 7x–y+3=0

***