• Корзина

    Пусто

Содержание данной онлайн страницы:

  • – задачи 54 - 56 представлены с примерами решений и ответами по теме "Тригонометрические функции";
  • – в тестах с номерами 57 - 63 рабочей тетради рассматривается, как решать тригонометрию 9 класса, если требуется определить синус, косинус, тангенс, используя основные формулы приведения;
  • – задачи, как вычислять координаты точки через косинус и синус угла, объясняются в контрольных работах по тригонометрии 64 - 68;
  • – тема "Формула площади треугольника, параллелограмма" представлена в самостоятельных работах 69 - 71 учебника;
  • – теорема синусов рассматривается в гдз по геометрии с номерами 72 - 74;
  • – теорема косинусов для треугольника рассматривается в примере 75.

Тригонометрические функции

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOMD.

;

Но OM=r=1, MD=y, OD=x

Тогда

Sin α = y 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ Sin α ≤ 1

Cos α=

Cos α = x –1 ≤ x ≤ 1; –1 ≤ Cos α ≤ 1

 

Определение:

Для любых углов α (читается: альфа): 0°≤ α≤180°

Sin α (синусом угла α) называется ордината точки M, а

Cos α (косинусом угла α) называется абсцисса точки M.

 

Задача 54.

Дано:

Окружность (0;r)

Координаты точек A(1;0),

B(–1;0), M1(0;1); M2(;)

Найти:

1) принадлежат ли данные точки окружности,

2) синус, косинус, тангенс углов

Решение:

1) Проверяем точку A

x2 + y2 = r2

12 + 02 = 12

1=1 (верно, данная точка принадлежит окружности)

Проверяем точку B

(–1)2 + 02 = 12

12 = 12

1=1 (верно)

Проверяем точку M1

02 + 12 = 12

1=1 (верно)

Проверяем точку M2

=(1)2

=1

=1

= 1

1=1 (верно)

 

2) SinAOM1=1, CosAOM1=0

tgAOM1(не определяется)

SinAOM2= , CosAOM2= ,

tgAOM2= = =

 

SinAOB=0, CosAOB=–1

tgAOM=== 0

 

0 90 180
синус Sin 0° = 0 синус Sin 90° = 1 синус Sin 180° = 0
косинус Cos 0° = 1 косинус Cos 90° = 0 косинус Cos 180° = –1
тангенс tg 0° = = 0 тангенс tg 90° ≠ (не определяется) тангенс tg 180° = 0

tg α =

 

 

Основное тригонометрическое тождество (0°≤ α ≤180°)

 

Дуга ACB является частью окружности, заданное уравнением

x2 + y2 = 1, где

x = Cos α; y = Sin α

Тогда Cos2α + Sin2α = 1

***

 

Задача 55.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Вычислите: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

Cos2α + Sin2α = 1

Sin2α = 1 – Cos2α

Sin α =

Учитывая условия, что 0°≤ α≤180°, 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем

Sin α = ==

Ответ: Sin α =

***

 

Задача 56.

Дано:

Синус угла Sin α =

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

Cos2α + Sin2α = 1

Cos2α = 1 – Sin2α

Cos α =

Cos α =

Cos α = –

Cos α =

Cos α = –

Ответ: Cos α =

***

 

Наверх

Формулы приведения

Таблица. Тригонометрические формулы приведения - синус, косинус в тригонометрии

Sin (90° – α) = Cos α Cos (90° – α) = Sin α (0°≤ α≤90°)

Sin (180° – α) = Sin α

Cos (180° – α) = – Cos α (0°≤ α≤180°)

Задача 57.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

Cos2α + Sin2α = 1

Sin2α = 1 – Cos2α

Sin α =

Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем

Sin α = ==

Ответ: Sin α =

***

 

Задача 58.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: синус угла альфа Sin α = ?

Решение:

Cos2α + Sin2α = 1

Sinα =

Sin α = ==

Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем

Sin α ==

Ответ: Sin α =

***

 

Задача 59.

Дано:

Синус угла Sin α =

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

Cos2α + Sin2α = 1

Cos2α = 1 – Sin2α

Учитывая условие, что –1 ≤ Cos α ≤ 1, получаем

Cos α = =

Cos α =

Ответ: Cos α =

***

 

Задача 60.

Дано:

Синус угла Sin α =0

 

Найти: косинус угла альфа Cos α = ?

Решение:

Cos2α + Sin2α = 1

Cos2α = 1 – Sin2α

Учитывая условие, что –1 ≤ Cos α ≤ 1, получаем

Cos α = =±1

Ответ: Cos α =±1

***

 

Задача 61.

Дано:

Косинус угла Cos α = 1

Найти: тангенс угла альфа tg α = ?

Решение:

tg α =

Cos2α + Sin2α = 1

Sin α = ±

 

Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем

Sin α = 0

Используя формулу для тангенса, получаем

tg α = tg α = 0

Ответ: tg α = 0

***

 

Задача 62.

Дано:

Косинус угла Cos α =

Найти: тангенс угла альфа tg α = ?

Решение:

tg α =

Cos2α + Sin2α = 1

Sin α = ±

Учитывая условие, что 0 ≤ Sin α ≤ 1, получаем

Sin α =

tg α == ==

Ответ: tg α =

***

 

Задача 63.

Дано:

Углы 120°, 135°, 150°

 

Найти: синус, косинус, тангенс углов

Sin α =? Cos α = ? tg α = ?

Решение:

Sin 120° = Sin (180° - 60°) = Sin 60° =

Cos 120° = Cos (180° - 60°) = - Cos 60° = -

tg 120° = = • (-2) = -

 

Sin 135° = Sin (180° - 45°) = Sin 45° =

Cos 135° = Cos (180° - 45°) = - Cos 45° = -

tg 135° = = = -1

 

Sin 150° = Sin (180° - 30°) = Sin 30° =

Cos 150° = Cos (180° - 30°) = - Cos 30° = -

tg 150° = = = -1 • = -

***

Наверх

Координаты точки через косинус и синус угла

Задача 64.

Дано: график окружности

Точка A(x;y), y>0

A(x;y) не лежит на окружности (0;r)

Угол α

Доказать:

x= OA • Cos α

y= OA • Sin α

Доказательство:

Точка M лежит на окружности с центром в начале координат и на прямой OA, т.е.

M=окр(0;r=1) ∩ OA или окр(0;r=1) ∩ OA=M

Координаты точки M(x=Cos α; y=Sin α)

Координаты вектора {Cos α; Sin α}, т.к. OM - радиус-вектор точки M.

С помощью формулы для вычисления длины вектора по его координатам получаем

====1

Тогда =OA•

{OA•Cos α; OA• Sin α} (*)

Т.к. - радиус-вектор точки A, тогда

{x;y} (**)

Тогда, учитывая условия (*) и (**), получаем

формула, как найти координаты точки через косинус и синус угла:

x= OA • Cos α;

y= OA • Sin α

***

 

Задача 65.

Дано:

OA=3

α= 45°

 

Найти: координаты точки A(x;y)

Решение:

Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем

x= OA • Cos α = 3 • Cos 45°= 3 • =

y= OA • Sin α = 3 • Sin 45°=

Ответ: A(;)

***

 

Задача 66.

Дано:

координаты точки A(2;2)

окружность с центром в начале координат (0;0)

 

Найти: угол α

Решение:

Т.к. по условию координаты точки A(2;2).

Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем

A (OA • Cos α; OA • Sin α);

Тогда OA • Cos α = 2

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

OA = =

• Cos α = 2

Cos α = = α =45°

Ответ: α =45°

***

 

Задача 67.

Дано: длина отрезка и величина угла

1) OA=1,5

α= 90°

2) OA=5

α= 150°

3) OA=2

α= 30°

 

Найти: координаты точки A(x;y)

Решение:

1) x= OA • Cos α = 1,5 • Cos 90°= 1,5 • 0 = 0

y= OA • Sin α = 1,5 • Sin 90°= 1,5 • 1 = 1,5

 

2) x= OA • Cos α = 5 • Cos (180° - 30°)= 5 • (- Cos 30°) = -

y= OA • Sin α = 5 • Sin (180 - 30°) = 5 • Sin 30° = 5 • == 2,5

 

3) x= OA • Cos α = 2 • Cos 30° = 2 • =

y= OA • Sin α = 2 • Sin 30° = 2 • = 1

Ответ: 1) (0; 1,5) 2) (-; 2,5) 3) (;1)

***

 

Задача 68.

Дано:

1) A(0;3)

2) B(–;1)

 

Найти: угол α

Решение:

1) Т.к. по условию координаты точки A(0;3).

Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем

A (x=OA • Cos α; y=OA • Sin α);

Тогда x=OA • Cos α = 0

y= OA • Sin α = 3

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

OA = = 3

3 • Cos α = 0

Cos α = 0

α = 90°

 

2) Т.к. по условию координаты точки B(-;1).

Используя формулы для вычисления координаты точки через косинус и синус угла, получаем

B (x=OB • Cos α; y=OB • Sin α);

Тогда x = OB • Cos α = - (*)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

OB = == 2

Используя условие (*), получаем

2 • Cos α = -

Cos α = -

α = 150°

Ответ: 1) 90° ; 2) 150°

***

 

Теорема:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус (Sin) угла между ними.

Дано:

Треугольник ΔABC

Стороны треугольника

BC=a, AC=b, AB=c

S - площадь треугольника

 

Доказать:

SΔABC=a • b • Sin C

Доказательство:

Площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту. Поэтому

SΔABC=a • h (*), где h – высота треугольника, a - основание

Но высота h = b • Sin C (**).

Используя условие (**) в формуле (*), тогда

Формула площади треугольника через синус, основание и высоту

SΔABC=• a • b • Sin C

a = ; b =

***

 

Задача 69.

Дано:

1) AB = 6см

AC = 4 см

A = 60°

2) BC = 3 см

AB = 18см

B = 45°

3) AC = 14 см

CB = 7 см

C = 48°

 

Найти: площадь треугольника SΔ

Решение:

Используя формулу площади треугольника через синус, основание и высоту, получаем

SΔ=• a • b • Sin α; Sin 60° =

1) SΔ=• 6• 4 • = 6= 6= 12см2

2) SΔ=• 3 • 18=== 27 см2

3) SΔ=• 14 • 7 • Sin 48°, где Sin 48° ≈ 0,7

Тогда SΔ= 7 • 7 • 0,7 ≈ 34,3 см2

Ответ: 1) 12см2 2) 27 см2 3) 34,3 см2

***

 

Задача 70.

Дано:

Площадь треугольника SΔABC= 60 см2

Сторона AC = 15

Угол A = 30°

 

Найти: сторону AB

Решение:

SΔ= • AC • AB • Sin 30° = • AC • AB • = • AC • AB;

AB = = = 16 см

Ответ: AB = 16 см

***

 

Задача 71.

Теорема:

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус (Sin) угла между ними.

 

Дано:

ABCD - параллелограмм

AB = a

AD = b

S - площадь параллелограмма

 

Доказать: S = a • b • SinA = a • b • Sin α

Доказательство:

S = AD • BH

Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔBDC. Данные треугольники равны по третьему признаку.

Тогда площади треугольников также равны SΔABD = SΔBDC

SΔBDC=• BC • CD • Sin α

Тогда площадь параллелограмма

SABCD= SΔABD + SΔBDC= 2 • SΔBDC

SABCD=2 • • a • b • Sin α = a • b • Sin α

***

 

Наверх

Теорема синусов

Теорема синусов для треугольника. Каждая сторона произвольного треугольника пропорциональна синусу противолежащего угла.

Дано:

Треугольник ΔABC

AB=c, BC=a, AC=b

Доказать:

Доказательство:

По теореме о площади треугольника получаем

SΔABC=c • b • Sin A (1)

SΔABC=a • b • Sin C (2)

SΔABC=c • a • Sin B (3)

Из равенства (1) и (2) следует, что

c • b • Sin A = a • b • Sin C

c • Sin A = a • Sin C

Тогда получаем (*)

Из равенства (2) и (3) следует, что

a • b • Sin C =c • a • Sin B

b • Sin C = c • Sin B

Тогда получаем (**)

Из равенств (*) и (**) получаем

- формула синуса треугольника

***

 

Задача 72.

Дано:

Треугольник ΔABC

Сторона AC = 12 см

Угол A = 75°

Угол С = 60°

 

Как найти: сторону AB треугольника, площадь треугольника SΔABC= ?

Решение: Используя теорему синусов, получаем

(*)

 

B = 180° ─ (60° + 75°) = 45°

Подставив известные значения переменных в равенство (*), получаем

 

AB = = 6≈ 15 (см)

 

Т.к. площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус (Sin) угла между ними, получаем равенство

SΔABC=• AB • AC • Sin A = • 15 • 12 • Sin 75° = 90 • 0,9659 ≈ 87 (см2)

 

Ответ: AB ≈ 15 см, SΔABC ≈ 87 см2.

***

 

Задача 73.

Дано:

Треугольник ΔABC

Сторона BC = см

Угол A = 45°

Угол С = 30°

 

Найти: сторону AB треугольника

Решение:

Используя теорему синусов, получаем

AB = 1 см.

Ответ: AB = 1 см.

***

 

Задача 74.

Дано:

ABCD – прямоугольник

Диагональ AC = 10 см

Угол BOC = 30°

 

Найти: Площадь прямоугольника

SABCD=?

Решение:

Т.к. ABCD - прямоугольник, тогда по определению прямоугольника ABCD является параллелограммом. Следовательно, он обладает свойствами и признаками параллелограмма.

 

AC=BD и BD=OD, AO=OC

По признаку параллелограмма BO=OC; OD=AO.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔBOC (BO=OC).

Т.к. угол BOC = 30°, тогда

OBC = BCO = (180° - 30°) : 2 = 75°, т.к. треугольник Δ BOC - равнобедренный.

Рассмотрим треугольник ΔBCD, где C = 90°.

Угол BDC = 180° - (75° + 90°) = 15°.

По теореме синусов составим соотношения:

CD = 0,9659 • 10 = 9,6 (см)

По теореме Пифагора

BC = = = = 2,8 (см)

Тогда SABCD= BC • CD = 2,8 • 9,6 = 25 (см2).

Ответ: SABCD= 25 см2.

***

 

Наверх

Теорема косинусов

Теорема косинусов для треугольника. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон и минус удвоенное произведение этих сторон на косинус (Cos) угла между ними.

Дано:

Треугольник ΔABC

AB=c, BC=a, AC=b

Доказать:

a2 = b2 + c2 - 2bc • Cos A

Доказательство:

Введем прямоугольную систему координат так, что

1) Точка A - начало координат или A(0;0)

2) Сторона AB лежит на оси абсцисс.

Тогда получаем B(c;0), C (b • Cos A; b • Sin A)

Используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками , получаем

a2 = BC2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (b • Cos A - c)2 + (b • Sin A - 0)2 =

= b2 • Cos2 A - 2bc • Cos A + c2 + b2 • Sin2 A = b2 (Cos2 A + Sin2 A) - 2bc • Cos A + c2 = b2 • 1 + c2 - 2bc • Cos A = b2 + c2 - 2bc • Cos A

Формулы теоремы косинусов:

- формула косинуса треугольника

***

 

Задача 75.

Дано:

Треугольник ΔABC

Высота CH = hc

Высота BH1 = hb

Угол A = α

 

Найти: площадь треугольника

SΔABC = ?

Решение:

Пусть AB=c, AC=b

Тогда SΔABC =

Рассмотрим треугольник ΔABH1:

Sin α= c= (1)

Рассмотрим треугольник ΔAHC:

Sin α= b= (2)

Используя равенства (1) и (2), находим площадь треугольника

SΔABC ==

Ответ: SΔABC =

- формула, как найти площадь треугольника через две высоты и синус угла.

***