Интернет-магазин детских книг » Примеры решения задач » Геометрия 9 класс »

Отображение плоскости и движение

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме "Отображение плоскости и движение в геометрии".

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

– тема "Отображение плоскости на себя" представлена на примере решения задач 139 - 141;
– в контрольных работах с номерами 142 - 143 данной рабочей тетради по математике рассматривается движение в геометрии;
– тема "Равные прямоугольники" объясняется на примере задачи 144.

Отображение плоскости на себя

Осевая симметрия и центральная симметрия являются примерами отображения плоскости на себя.

При отображении плоскости на себя:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствии какая-то одна точка плоскости.

2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Определение:

Движение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.

Примеры: точка A лежит на линии L,

точка B не лежит на линии L

а) отобразить точку A относительно линии L:

A → A (см. рисунок а)

отобразить точку B относительно линии L:

B → B₁

1) отрезок BB₁ перпендикулярен к линии L

2) отрезки OB = OB₁ равны (см. рис. а)

б) отобразить точки A, B и отрезок AB относительно линии L (см. рисунок б):

A → A₁

B → B₁

AB → A₁B₁

в) отобразить отрезок AB относительно линии L (см. рисунок в):

отрезки параллельны AB || A₁B₁

г) отобразить отрезок AB относительно точки O (см. рисунок г):

A → A₁ : AO = A₁O

B → B₁ : BO = B₁O

***

Задача 139.

Дано:

L – ось симметрии

Прямая a параллельна прямой L

a || L

a₁ – отображение прямой a

a → a₁

Доказать:

Прямая a₁ параллельна прямой L

a₁ || L

Доказательство:

Возьмем на прямой a любые две точки т. A и т. B. Получим отрезок AB a, лежащий на прямой a. Найдем отображение отрезка AB. Для этого от т. B и т. A проведем перпендикуляры к оси L.

Измерив расстояние от т. A или т. B до оси L, отложим это же расстояние циркулем, т.е.

A → A₁

B → B₁

Соединим точку A₁ с точкой B₁ и получим отрезок A₁B₁ a₁, лежащий на прямой a₁.

Следует, по построению:

AO = OA₁, BO₁ = O₁B₁

Т.к. AB || L , то AO = BO₁ = O₁B₁= OA₁

Тогда OA₁ = OB₁ , т.е. точки т. A₁ и т. B₁ находятся на равном расстоянии от оси L.

Следовательно, прямая a₁ параллельна прямой L

a₁ || L

***

Задача 140.

Дано:

a – ось симметрии, прямая

ABCD – четырехугольник

Построить:

фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник

Построение:

1) проведем перпендикуляры от точек A, B, C, D к оси a.

2) измерим расстояние при помощи циркуля от точки O до точек A и D и отложим их так, чтобы расстояние между точками A и O, D и O было равно расстоянию между симметричными расстояниями D₁O и A₁O.

3) Измерим расстояние при помощи циркуля от точки O₁ до точек B и C и отложим их так, чтобы расстояние между точками B и O₁, C и O₁ было равно расстоянию между симметричными расстояниями B₁O₁ и C₁O₁.

4) Соединим последовательно точки A₁, B₁, C₁, D₁.

По построению фигура F – четырехугольник.

***

Задача 141.

Дано:

L – ось симметрии

Прямая a перпендикулярна прямой L

a L

Доказать:

Прямая a отображается на себя относительно оси L

a a

Доказательство:

1) любая точка A a, лежащая на прямой a, ставится в соответствии точке A₁ a, также лежащей на прямой a (по определению симметрии относительно прямой L; a L ).

2) любая точка A₁ a, лежащая на прямой a, оказывается поставленной в соответствии точке A a, лежащей на прямой a.

Значит, прямая a отображается на себя относительно оси L

a a

***

Движение

Теорема:

При движении отрезок отображается на отрезок.

Дано:

MN – отрезок

M M₁

N N₁

Доказать:

движением отрезок MN переводится в отрезок M₁N₁

MN M₁N₁

Доказательство:

1) Возьмем точку P MN, лежащую на отрезке MN.

Тогда MP + PN = MN (*)

Движением точка P переводится в точку P₁

P P₁

Т.к. движение сохраняет расстояние между точками, то

MN = M₁N₁; MP = M₁P₁, PN = P₁N₁ (1)

Тогда из равенств (*) и (1) следует, что

M₁P₁ + P₁N₁ = M₁N₁ , поэтому точка P₁ лежит на отрезке M₁N₁

P₁ M₁N₁

Тогда движением отрезок MN переводится в отрезок M₁N₁

MN M₁N₁

2) Проверим второе условие.

Любая точка P₁ M₁N₁, лежащая на отрезке M₁N₁, дает равенство M₁P₁ + P₁N₁ = M₁N₁ (**)

Движением точка P₁ переводится в точку P

P₁ P

Из равенств (**) и (1) следует, что MP + PN = MN

Поэтому точка P MN лежит на отрезке MN.

Действительно, движением отрезок MN переводится в отрезок M₁N₁:

MN M₁N₁

***

Следствие 1:

Движением треугольник переводится в равный ему треугольник.

Дано:

треугольник ΔABC

A A₁

B B₁

C C₁

Доказать:

движением треугольник ΔABC переводится в равный ему треугольник ΔA₁B₁C₁

ΔABC ΔA₁B₁C₁: ΔABC = ΔA₁B₁C₁

Доказательство:

По доказанной теореме – отрезок переходит в равный ему отрезок.

Тогда

1) движением отрезок AB переводится в равный ему отрезок A₁B₁ , т.е AB A₁B₁ , так чтобы AB = A₁B₁

2) движением отрезок AC переводится в равный ему отрезок A₁C₁ , т.е AC A₁C₁ , так чтобы AC = A₁C₁

3) движением отрезок BC переводится в равный ему отрезок B₁C₁ , т.е BC B₁C₁ , так чтобы BC = B₁C₁

Значит, движением треугольник ΔABC переводится в равный ему треугольник ΔA₁B₁C₁, т.е.

ΔABC ΔA₁B₁C₁:

ΔABC = ΔA₁B₁C₁ (по трем сторонам)

***

Следствие 2:

Движением прямая переводится в прямую, луч переводится в луч, угол переводится в равный ему угол.

Задача 142.

Дано:

две прямые параллельны a || b

a a₁

b b₁

Доказать:

параллельность прямых, т.е. две прямые параллельны a₁ || b₁

Доказательство (от противного):

Пусть две прямые не параллельны a₁ b₁, то эти прямые пересекаются a₁ ∩ b₁

Каждой точке прямых a и b ставится в соответствии единственная точка прямых a₁ и b₁.

Каждая точка прямых a₁ и b₁ оказывается поставленной в соответствии какой-то точке прямых a и b.

Тогда точка пересечения прямых a₁ и b₁ оказывается поставленной в соответствии в точке пересечения прямых a и b, что противоречит условию задачи.

Поэтому, две прямые параллельны a₁ || b₁

***

Задача 143.

Дано:

O – точка центральной симметрии

b – прямая

Построить:

прямую b₁, на которую отображается прямая b относительно точки O

b b₁

Построение:

1) Возьмем на прямой b любые две точки, например, A и B.

2) Проведем луч BO.

3) Проведем луч AO.

4) Измерим с помощью циркуля отрезок AO и на продолжении луча AO отложим от точки O расстояние, равное расстоянию между точками A и O.

5) Измерим с помощью циркуля отрезок BO и на продолжении луча BO отложим от точки O расстояние, равное расстоянию, между точками B и O.

6) Получим два равных отрезка AB = A₁B₁

7) Проведем через A₁B₁ прямую b₁, тогда получаем прямую b₁, на которую отображается прямая b относительно точки O

b b₁

***

Задача 144.

Дано:

ABCD – прямоугольник

A₁B₁C₁D₁ – прямоугольник

а) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁

б) A₁B₁ = AB

AC = A₁C₁ – диагонали

Доказать: ABCD = A₁B₁C₁D₁

Доказательство:

а) Докажем от противного.

Пусть ABCD ≠ A₁B₁C₁D₁

Тогда AB ≠ A₁B₁ и BC ≠ B₁C₁, что противоречит данному условию.

Значит, прямоугольники равны ABCD = A₁B₁C₁D₁

***

б) Докажем от противного.

Пусть ABCD ≠ A₁B₁C₁D₁

Тогда AB ≠ A₁B₁ и BC ≠ B₁C₁

Т.к. прямоугольники не равны, то и диагонали будут не равны, что противоречит условию задачи.

Значит, прямоугольники равны ABCD = A₁B₁C₁D₁

***