Отображение плоскости и движение

  • Корзина

    Пусто

Содержание онлайн страницы:

  • – тема "Отображение плоскости на себя" представлена на примере решения задач 139 - 141;
  • – в контрольных работах с номерами 142 - 143 данной рабочей тетради по математике рассматривается движение в геометрии;
  • – тема "Равные прямоугольники" объясняется на примере задачи 144.

Отображение плоскости на себя

Осевая симметрия и центральная симметрия являются примерами отображения плоскости на себя.

 

При отображении плоскости на себя:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствии какая-то одна точка плоскости.

2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

 

Определение:

Движение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняется расстояние между точками.

 

Примеры: точка A лежит на линии L,

точка B не лежит на линии L


а) отобразить точку A относительно линии L:

A → A (см. рисунок а)

отобразить точку B относительно линии L:

B → B1

 

1) отрезок BB1 перпендикулярен к линии L

2) отрезки OB = OB1 равны (см. рис. а)

б) отобразить точки A, B и отрезок AB относительно линии L (см. рисунок б):

A → A1

B → B1

AB → A1B1

в) отобразить отрезок AB относительно линии L (см. рисунок в):

отрезки параллельны AB || A1B1

г) отобразить отрезок AB относительно точки O (см. рисунок г):

A → A1 : AO = A1O

B → B1 : BO = B1O

***

 

 

Задача 139.

Дано:

L – ось симметрии

Прямая a параллельна прямой L

a || L

a1 – отображение прямой a

a → a1

 

Доказать:

Прямая a1 параллельна прямой L

a1 || L

Доказательство:

Возьмем на прямой a любые две точки т. A и т. B. Получим отрезок AB a, лежащий на прямой a. Найдем отображение отрезка AB. Для этого от т. B и т. A проведем перпендикуляры к оси L.

Измерив расстояние от т. A или т. B до оси L, отложим это же расстояние циркулем, т.е.

A → A1

B → B1

Соединим точку A1 с точкой B1 и получим отрезок A1B1 a1, лежащий на прямой a1.

Следует, по построению:

AO = OA1, BO1 = O1B1

Т.к. AB || L , то AO = BO1 = O1B1 = OA1

Тогда OA1 = OB1 , т.е. точки т. A1 и т. B1 находятся на равном расстоянии от оси L.

Следовательно, прямая a1 параллельна прямой L

a1 || L

***

 

Задача 140.

Дано:

a – ось симметрии, прямая

ABCD – четырехугольник

 

Построить:

фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник

Построение:

1) проведем перпендикуляры от точек A, B, C, D к оси a.

2) измерим расстояние при помощи циркуля от точки O до точек A и D и отложим их так, чтобы расстояние между точками A и O, D и O было равно расстоянию между симметричными расстояниями D1O и A1O.

3) Измерим расстояние при помощи циркуля от точки O1 до точек B и C и отложим их так, чтобы расстояние между точками B и O1, C и O1 было равно расстоянию между симметричными расстояниями B1O1 и C1O1.

4) Соединим последовательно точки A1, B1, C1, D1.

По построению фигура F – четырехугольник.

***

 

Задача 141.

Дано:

L – ось симметрии

Прямая a перпендикулярна прямой L

a L

 

Доказать:

Прямая a отображается на себя относительно оси L

a a

Доказательство:

1) любая точка A a, лежащая на прямой a, ставится в соответствии точке A1 a, также лежащей на прямой a (по определению симметрии относительно прямой L; a L ).

2) любая точка A1 a, лежащая на прямой a, оказывается поставленной в соответствии точке A a, лежащей на прямой a.

Значит, прямая a отображается на себя относительно оси L

a a

***

 

Наверх

Движение

Теорема:

При движении отрезок отображается на отрезок.

 

Дано:

MN – отрезок

M M1

N N1

Доказать:

движением отрезок MN переводится в отрезок M1N1

MN M1N1

Доказательство:

1) Возьмем точку P MN, лежащую на отрезке MN.

Тогда MP + PN = MN (*)

Движением точка P переводится в точку P1

P P1

Т.к. движение сохраняет расстояние между точками, то

MN = M1N1; MP = M1P1, PN = P1N1 (1)

Тогда из равенств (*) и (1) следует, что

M1P1 + P1N1 = M1N1 , поэтому точка P1 лежит на отрезке M1N1

P1 M1N1

Тогда движением отрезок MN переводится в отрезок M1N1

MN M1N1

 

2) Проверим второе условие.

Любая точка P1 M1N1, лежащая на отрезке M1N1, дает равенство M1P1 + P1N1 = M1N1 (**)

Движением точка P1 переводится в точку P

P1 P

Из равенств (**) и (1) следует, что MP + PN = MN

Поэтому точка P MN лежит на отрезке MN.

Действительно, движением отрезок MN переводится в отрезок M1N1:

MN M1N1

***

 

Следствие 1:

Движением треугольник переводится в равный ему треугольник.

 

Дано:

треугольник ΔABC

A A1

B B1

C C1

 

Доказать:

движением треугольник ΔABC переводится в равный ему треугольник ΔA1B1C1

ΔABC ΔA1B1C1: ΔABC = ΔA1B1C1

Доказательство:

По доказанной теореме – отрезок переходит в равный ему отрезок.

Тогда

1) движением отрезок AB переводится в равный ему отрезок A1B1 , т.е AB A1B1 , так чтобы AB = A1B1

2) движением отрезок AC переводится в равный ему отрезок A1C1 , т.е AC A1C1 , так чтобы AC = A1C1

3) движением отрезок BC переводится в равный ему отрезок B1C1 , т.е BC B1C1 , так чтобы BC = B1C1

 

Значит, движением треугольник ΔABC переводится в равный ему треугольник ΔA1B1C1, т.е.

ΔABC ΔA1B1C1:

ΔABC = ΔA1B1C1 (по трем сторонам)

***

 

 

Следствие 2:

Движением прямая переводится в прямую, луч переводится в луч, угол переводится в равный ему угол.

 

Задача 142.

Дано:

две прямые параллельны a || b

a a1

b b1

 

Доказать:

параллельность прямых, т.е. две прямые параллельны a1 || b1

Доказательство (от противного):

Пусть две прямые не параллельны a1 b1, то эти прямые пересекаются a1b1

Каждой точке прямых a и b ставится в соответствии единственная точка прямых a1 и b1.

Каждая точка прямых a1 и b1 оказывается поставленной в соответствии какой-то точке прямых a и b.

Тогда точка пересечения прямых a1 и b1 оказывается поставленной в соответствии в точке пересечения прямых a и b, что противоречит условию задачи.

Поэтому, две прямые параллельны a1 || b1

***

 

Задача 143.

Дано:

O – точка центральной симметрии

b – прямая

 

Построить:

прямую b1, на которую отображается прямая b относительно точки O

b b1

 

Построение:

1) Возьмем на прямой b любые две точки, например, A и B.

2) Проведем луч BO.

3) Проведем луч AO.

4) Измерим с помощью циркуля отрезок AO и на продолжении луча AO отложим от точки O расстояние, равное расстоянию между точками A и O.

5) Измерим с помощью циркуля отрезок BO и на продолжении луча BO отложим от точки O расстояние, равное расстоянию, между точками B и O.

6) Получим два равных отрезка AB = A1B1

7) Проведем через A1B1 прямую b1, тогда получаем прямую b1, на которую отображается прямая b относительно точки O

b b1

***

 

Задача 144.

Дано:

ABCD – прямоугольник

A1B1C1D1 – прямоугольник

а) AB = A1B1, BC = B1C1

 

б) A1B1 = AB

AC = A1C1 – диагонали

 

Доказать: ABCD = A1B1C1D1

Доказательство:

а) Докажем от противного.

Пусть ABCD ≠ A1B1C1D1

Тогда AB ≠ A1B1 и BC ≠ B1C1, что противоречит данному условию.

Значит, прямоугольники равны ABCD = A1B1C1D1

***

б) Докажем от противного.

Пусть ABCD ≠ A1B1C1D1

Тогда AB ≠ A1B1 и BC ≠ B1C1

Т.к. прямоугольники не равны, то и диагонали будут не равны, что противоречит условию задачи.

Значит, прямоугольники равны ABCD = A1B1C1D1

***